Упр.41.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение с параметром $$a$$:

а) $$4^x — 2^x + a = a \cdot 2^x$$;

б) $$9^x — (2a + 1) \cdot 3^x + a^2 + a — 2 = 0$$.

а) $$4^x-2^x+a=a\cdot 2^x$$

$$2^{2x}-2^x-a\cdot 2^x+a=0$$

$$2^{2x}-(a+1)\cdot 2^x+a=0$$

Сделаем замену $$y=2^x$$, тогда получаем:

$$y^2-(a+1)y+a=0$$

$$D=(a+1)^2-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2$$

$$y_{1,2}=\frac{a+1\pm(a-1)}{2}$$

Отсюда:

$$y_1=1,\qquad y_2=a$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$2^x=1 \Rightarrow x=0$$

$$2^x=a \Rightarrow x=\log_2 a$$

Так как $$2^x>0$$ при любых $$x$$, то второе значение возможно только при $$a>0$$.

Итак,

$$x=0,\ \text{если } a\le 0;$$

$$x=0,\ x=\log_2 a,\ \text{если } a>0,\ a\ne 1.$$

б) $$9^x-(2a+1)\cdot 3^x+a^2+a-2=0$$

$$3^{2x}-(2a+1)\cdot 3^x+a^2+a-2=0$$

Сделаем замену $$y=3^x$$, тогда:

$$y^2-(2a+1)y+a^2+a-2=0$$

$$D=(2a+1)^2-4(a^2+a-2)=9$$

$$y_{1,2}=\frac{2a+1\pm 3}{2}$$

Следовательно,

$$y_1=a+2,\qquad y_2=a-1$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$3^x=a+2 \Rightarrow x=\log_3(a+2)$$

$$3^x=a-1 \Rightarrow x=\log_3(a-1)$$

Так как $$3^x>0$$, то:

• если $$a\le -2$$, решений нет;
• если $$-2<a\le 1$$, то $$x=\log_3(a+2)$$;
• если $$a>1$$, то $$x=\log_3(a+2)$$ и $$x=\log_3(a-1)$$.

Ответ

а) $$x=0$$ при $$a\le 0$$; $$x=0,\ x=\log_2 a$$ при $$a>0,\ a\ne 1$$.

б) $$a\le -2$$ — решений нет; $$-2<a\le 1,\ x=\log_3(a+2)$$; $$a>1,\ x=\log_3(a+2),\ x=\log_3(a-1)$$.