Упр.41.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$4^x-5\cdot 2^x\geq -6$$; б) $$16^x\leq 6\cdot 4^x-5$$; в) $$9^x-7\cdot 3^x<-12$$; г) $$9\cdot 7^x+14>-49^x$$.

а) $$4^x-5\cdot 2^x\ge -6$$

$$2^{2x}-5\cdot 2^x+6\ge 0$$

Пусть $$y=2^x,\quad y>0.$$ Тогда

$$y^2-5y+6\ge 0$$

$$(y-2)(y-3)\ge 0$$

Отсюда $$0<y\le 2$$ или $$y\ge 3.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$2^x\le 2 \Rightarrow x\le 1,$$

$$2^x\ge 3 \Rightarrow x\ge \log_2 3.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;1]\cup[\log_2 3;+\infty).$$

б) $$16^x\le 6\cdot 4^x-5$$

$$4^{2x}-6\cdot 4^x+5\le 0$$

Пусть $$y=4^x,\quad y>0.$$ Тогда

$$y^2-6y+5\le 0$$

$$(y-1)(y-5)\le 0$$

Отсюда $$1\le y\le 5.$$

Значит,

$$1\le 4^x\le 5 \Rightarrow 0\le x\le \log_4 5.$$

Ответ: $$x\in[0;\log_4 5].$$

в) $$9^x-7\cdot 3^x<-12$$

$$3^{2x}-7\cdot 3^x+12<0$$

Пусть $$y=3^x,\quad y>0.$$ Тогда

$$y^2-7y+12<0$$

$$(y-3)(y-4)<0$$

Отсюда $$3<y<4.$$

Следовательно,

$$3<3^x<4 \Rightarrow 1<x<\log_3 4.$$

Ответ: $$x\in(1;\log_3 4).$$

г) $$9\cdot 7^x+14>-49^x$$

$$49^x+9\cdot 7^x+14>0$$

$$7^{2x}+9\cdot 7^x+14>0$$

Пусть $$y=7^x,\quad y>0.$$ Тогда

$$y^2+9y+14>0$$

$$(y+7)(y+2)>0$$

Так как $$y>0,$$ то выражение $$(y+7)(y+2)$$ всегда положительно.

Значит, неравенство верно при любом $$x.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;+\infty).$$