Упр.41.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство: а) $$2^x \geq 9$$; б) $$12^x \leq 7$$; в) $$\left(\frac{1}{3}\right)^x < 4$$; г) $$\left(0{,}2\right)^x > 5$$.

а) $$2^x \ge 9$$

Так как основание $$2>1$$, функция $$2^x$$ возрастает, поэтому можно перейти к логарифму:

$$x \ge \log_2 9.$$

б) $$12^x \le 7$$

Так как основание $$12>1$$, функция $$12^x$$ возрастает, значит:

$$x \le \log_{12} 7.$$

в) $$\left(\frac13\right)^x < 4$$

Представим левую часть как степень числа $$3$$:

$$3^{-x} < 4.$$

Так как основание $$3>1$$, получаем:

$$-x < \log_3 4,$$

откуда

$$x > -\log_3 4.$$

г) $$\left(0{,}2\right)^x > 5$$

Заметим, что $$0{,}2=\frac15$$, тогда

$$\left(\frac15\right)^x > 5.$$

Переходим к основанию $$5$$:

$$5^{-x} > 5^1.$$

Так как основание $$5>1$$, сравниваем показатели:

$$-x > 1,$$

следовательно,

$$x < -1.$$

Ответ

а) $$x \in [\log_2 9;\,+\infty)$$; б) $$x \in (-\infty;\,\log_{12} 7]$$; в) $$x \in (-\log_3 4;\,+\infty)$$; г) $$x \in (-\infty;\,-1)$$.