Упр.41.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$4^x-5\cdot2^x=-6$$; б) $$16^x=6\cdot4^x-5$$; в) $$9^x-7\cdot3^x=-12$$; г) $$-9\cdot7^x+14=-49^x$$.

а) $$4^x-5\cdot 2^x=-6$$

$$2^{2x}-5\cdot 2^x+6=0$$

Пусть $$y=2^x,\; y>0.$$ Тогда

$$y^2-5y+6=0$$

$$\left(y-2\right)\left(y-3\right)=0$$

Отсюда $$y=2$$ или $$y=3.$$

Если $$2^x=2,$$ то $$x=1.$$

Если $$2^x=3,$$ то $$x=\log_2 3.$$

Ответ: $$1;\ \log_2 3.$$

б) $$16^x=6\cdot 4^x-5$$

$$4^{2x}-6\cdot 4^x+5=0$$

Пусть $$y=4^x,\; y>0.$$ Тогда

$$y^2-6y+5=0$$

$$\left(y-1\right)\left(y-5\right)=0$$

Отсюда $$y=1$$ или $$y=5.$$

Если $$4^x=1,$$ то $$x=0.$$

Если $$4^x=5,$$ то $$x=\log_4 5.$$

Ответ: $$0;\ \log_4 5.$$

в) $$9^x-7\cdot 3^x=-12$$

$$3^{2x}-7\cdot 3^x+12=0$$

Пусть $$y=3^x,\; y>0.$$ Тогда

$$y^2-7y+12=0$$

$$\left(y-3\right)\left(y-4\right)=0$$

Отсюда $$y=3$$ или $$y=4.$$

Если $$3^x=3,$$ то $$x=1.$$

Если $$3^x=4,$$ то $$x=\log_3 4.$$

Ответ: $$1;\ \log_3 4.$$

г) $$-9\cdot 7^x+14=-49^x$$

$$49^x-9\cdot 7^x+14=0$$

$$7^{2x}-9\cdot 7^x+14=0$$

Пусть $$y=7^x,\; y>0.$$ Тогда

$$y^2-9y+14=0$$

$$\left(y-2\right)\left(y-7\right)=0$$

Отсюда $$y=2$$ или $$y=7.$$

Если $$7^x=2,$$ то $$x=\log_7 2.$$

Если $$7^x=7,$$ то $$x=1.$$

Ответ: $$1;\ \log_7 2.$$