Упр.40.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$3^{x^2-4{,}5}\cdot\sqrt{3}=\frac{1}{27}$$; б) $$0{,}5^{x^2-5{,}5}\cdot\sqrt{0{,}5}=32$$; в) $$\sqrt{2^{-1}}\cdot2^{x^2-7{,}5}=\frac{1}{128}$$; г) $$0{,}1^{x^2-0{,}5}\cdot\sqrt{0{,}1}=0{,}001$$.

а) $$3^{x^2-4,5}\cdot \sqrt{3}=\frac{1}{27}$$

Представим всё в виде степеней числа $$3$$:

$$3^{x^2-4,5}\cdot 3^{\frac12}=3^{-3}$$

$$3^{x^2-4}=3^{-3}$$

Тогда

$$x^2-4=-3$$

$$x^2=1$$

$$x=\pm 1$$

Ответ: $$\pm 1$$.

б) $$0{,}5^{x^2-5,5}\cdot \sqrt{0{,}5}=32$$

Запишем всё через основание $$\frac12$$:

$$\left(\frac12\right)^{x^2-5,5}\cdot \left(\frac12\right)^{\frac12}=\left(\frac12\right)^{-5}$$

$$\left(\frac12\right)^{x^2-5}=\left(\frac12\right)^{-5}$$

Следовательно,

$$x^2-5=-5$$

$$x^2=0$$

$$x=0$$

Ответ: $$0$$.

в) $$\sqrt{2^{-1}}\cdot 2^{x^2-7,5}=\frac{1}{128}$$

Преобразуем левую и правую части:

$$2^{-\frac12}\cdot 2^{x^2-7,5}=2^{-7}$$

$$2^{x^2-8}=2^{-7}$$

Тогда

$$x^2-8=-7$$

$$x^2=1$$

$$x=\pm 1$$

Ответ: $$\pm 1$$.

г) $$0{,}1^{x^2-0,5}\cdot \sqrt{0{,}1}=0{,}001$$

Представим числа как степени десяти:

$$0{,}1^{x^2-0,5}\cdot 0{,}1^{\frac12}=0{,}1^3$$

$$0{,}1^{x^2}=0{,}1^3$$

Отсюда

$$x^2=3$$

$$x=\pm \sqrt{3}$$

Ответ: $$\pm \sqrt{3}$$.