Упр.40.67 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$2x+2-x^2\geq 3^{x^2-2x+x}$$;

б) $$2^{x^2-4x+5}\geq 4x-2-x^2$$.

а) Пусть $$t=x^2-2x.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$2-t\ge 3^{t+2}.$$

Функция $$f(t)=2-t$$ убывает на всей числовой прямой, а функция $$g(t)=3^{t+2}$$ возрастает. Значит, достаточно найти точку их пересечения:

$$2-t=3^{t+2}.$$

Проверим значение $$t=-1$$:

$$2-(-1)=3,\qquad 3^{-1+2}=3.$$

Следовательно, при $$t\le -1$$ неравенство выполняется. Возвращаемся к замене:

$$x^2-2x\le -1,$$

$$x^2-2x+1\le 0,$$

$$\left(x-1\right)^2\le 0.$$

Отсюда

$$x=1.$$

б) Пусть $$t=x^2-4x.$$ Тогда неравенство принимает вид

$$2^{t+5}\ge -t-2.$$

Функция $$f(t)=2^{t+5}$$ возрастает, а функция $$g(t)=-t-2$$ убывает. Найдём точку их пересечения:

$$2^{t+5}=-t-2.$$

Проверим значение $$t=-4$$:

$$2^{-4+5}=2,\qquad -(-4)-2=2.$$

Значит, при $$t\ge -4$$ неравенство выполняется. Возвращаемся к замене:

$$x^2-4x\ge -4,$$

$$x^2-4x+4\ge 0,$$

$$\left(x-2\right)^2\ge 0.$$

Это верно при любом $$x\in\mathbb{R}$$.

Ответ

а) $$x=1$$; б) $$x\in\mathbb{R}$$.