Упр.40.66 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$2^{2-x}>2x-3$$; б) $$3^{3-2x}\leq 2x+1$$.

а) $$2^{2-x}>2x-3$$

Представим левую часть в виде степени с основанием $$\frac12$$:

$$2^2\cdot 2^{-x}>2x-3$$

$$\left(\frac12\right)^x>\frac12x-\frac34$$

Функция $$f(x)=\left(\frac12\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=\frac12x-\frac34$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Поэтому достаточно найти точку их пересечения.

Проверим $$x=2$$:

$$f(2)=\left(\frac12\right)^2=\frac14,\qquad g(2)=\frac12\cdot 2-\frac34=\frac14.$$

Так как при $$x<2$$ убывающая функция $$f(x)$$ больше возрастающей $$g(x)$$, получаем:

$$x\in(-\infty;2).$$

б) $$3^{3-2x}\le 2x+1$$

Преобразуем неравенство:

$$3^3\cdot 3^{-2x}\le 2x+1$$

$$\left(\frac19\right)^x\le \frac{2}{27}x+\frac{1}{27}$$

Функция $$f(x)=\left(\frac19\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=\frac{2}{27}x+\frac{1}{27}$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Найдём точку пересечения:

$$f(1)=\left(\frac19\right)^1=\frac19,\qquad g(1)=\frac{2}{27}\cdot 1+\frac{1}{27}=\frac19.$$

Следовательно, при $$x\ge 1$$ выполняется неравенство:

$$x\in[1;+\infty).$$

Ответ: а) $$x\in(-\infty;2)$$; б) $$x\in[1;+\infty).$$