Упр.40.65 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$(2^x-8)(3^x-81)<0$$; б) $$(3^{x+2}-\frac{1}{27})(5^{3-2x}-0{,}2)\geq 0$$.

а) $$\left(2^x-8\right)\left(3^x-81\right)<0$$

Представим числа $$8$$ и $$81$$ в виде степеней:

$$\left(2^x-2^3\right)\left(3^x-3^4\right)<0$$

Так как показательные функции возрастают, то

$$2^x-2^3<0 \iff x<3,$$

$$3^x-3^4<0 \iff x<4.$$

Произведение отрицательно, когда множители разных знаков. Это происходит при

$$3<x<4.$$

Ответ: $$x\in(3;4).$$

б) $$\left(3^{x+2}-\frac{1}{27}\right)\left(5^{3-2x}-0{,}2\right)\ge 0$$

Запишем числа в виде степеней:

$$\frac{1}{27}=3^{-3}, \qquad 0{,}2=5^{-1}.$$

Тогда

$$\left(3^{x+2}-3^{-3}\right)\left(5^{3-2x}-5^{-1}\right)\ge 0.$$

Найдём, при каких $$x$$ обращаются в ноль множители:

$$3^{x+2}=3^{-3}\iff x+2=-3\iff x=-5,$$

$$5^{3-2x}=5^{-1}\iff 3-2x=-1\iff x=2.$$

Так как обе показательные функции возрастают, то

$$3^{x+2}-3^{-3}\le 0 \iff x\le -5,$$

$$5^{3-2x}-5^{-1}\ge 0 \iff x\le 2.$$

Произведение неотрицательно, когда множители одного знака или равны нулю. Получаем

$$-5\le x\le 2.$$

Ответ: $$x\in[-5;2].$$