Упр.40.64 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство: а) $$(x-6)(5^{x-6}-25)<0$$; б) $$(2x+1)(3^{3-x}-9)>0$$.

а) Рассмотрим неравенство

$$(x-6)(5^{x-6}-25)<0$$

Преобразуем число $$25$$:

$$25=5^2$$

Тогда

$$(x-6)(5^{x-6}-5^2)<0$$

Так как функция $$5^t$$ возрастает, то

$$5^{x-6}-5^2<0 \iff x-6<2 \iff x<8$$

Нули множителей:

$$x-6=0 \Rightarrow x=6, \qquad 5^{x-6}-25=0 \Rightarrow x=8$$

Произведение двух множителей отрицательно между корнями:

$$6<x<8$$

Ответ: $$x\in(6;8)$$

б) Рассмотрим неравенство

$$(2x+1)(3^{3-x}-9)>0$$

Преобразуем число $$9$$:

$$9=3^2$$

Тогда

$$(2x+1)(3^{3-x}-3^2)>0$$

Нули множителей:

$$2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac12$$

$$3^{3-x}-9=0 \Rightarrow 3^{3-x}=3^2 \Rightarrow 3-x=2 \Rightarrow x=1$$

Так как функция $$3^t$$ возрастает, то

$$3^{3-x}-3^2>0 \iff 3-x>2 \iff x<1$$

Следовательно, произведение положительно между найденными корнями:

$$-\frac12<x<1$$

Ответ: $$x\in\left(-\frac12;1\right)$$