Упр.40.62 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$2^{6x-10}-9\cdot2^{3x-5}+8\leq0$$;
б) $$5^{2x+1}-5^{x+2}\leq5^x-5$$;
в) $$3^{8x+6}-10\cdot3^{4x+3}+9\geq0$$;
г) $$3^{2x+2}-3^{x+4}<3^x-9$$.
а) $$2^{6x-10}-9\cdot 2^{3x-5}+8\le 0$$
Сделаем замену: $$t=2^{3x-5}, \quad t>0.$$ Тогда
$$t^2-9t+8\le 0$$
$$\left(t-1\right)\left(t-8\right)\le 0$$
Отсюда
$$1\le t\le 8.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$1\le 2^{3x-5}\le 8=2^3$$
$$0\le 3x-5\le 3$$
$$5\le 3x\le 8$$
$$\frac{5}{3}\le x\le \frac{8}{3}.$$
б) $$5^{2x+1}-5^{x+2}\le 5^x-5$$
Преобразуем:
$$5\cdot 5^{2x}-25\cdot 5^x-5^x+5\le 0$$
$$5\cdot 5^{2x}-26\cdot 5^x+5\le 0.$$
Сделаем замену: $$t=5^x, \quad t>0.$$ Тогда
$$5t^2-26t+5\le 0$$
$$\left(5t-1\right)\left(t-5\right)\le 0.$$
Следовательно,
$$\frac{1}{5}\le t\le 5.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\frac{1}{5}\le 5^x\le 5$$
$$5^{-1}\le 5^x\le 5^1$$
$$-1\le x\le 1.$$
в) $$3^{8x+6}-10\cdot 3^{4x+3}+9\ge 0$$
Преобразуем:
$$3^{2(4x+3)}-10\cdot 3^{4x+3}+9\ge 0.$$
Сделаем замену: $$t=3^{4x+3}, \quad t>0.$$ Тогда
$$t^2-10t+9\ge 0$$
$$\left(t-1\right)\left(t-9\right)\ge 0.$$
Отсюда
$$t\le 1 \quad \text{или} \quad t\ge 9.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$3^{4x+3}\le 1=3^0 \quad \text{или} \quad 3^{4x+3}\ge 9=3^2$$
$$4x+3\le 0 \quad \text{или} \quad 4x+3\ge 2$$
$$x\le -\frac{3}{4} \quad \text{или} \quad x\ge -\frac{1}{4}.$$
г) $$3^{2x+2}-3^{x+4}<3^x-9$$
Перенесём всё в левую часть:
$$3^{2x+2}-3^{x+4}-3^x+9<0$$
$$9\cdot 3^{2x}-82\cdot 3^x+9<0.$$
Сделаем замену: $$t=3^x, \quad t>0.$$ Тогда
$$9t^2-82t+9<0$$
$$\left(9t-1\right)\left(t-9\right)<0.$$
Следовательно,
$$\frac{1}{9}<t<9.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\frac{1}{9}<3^x<9=3^2$$
$$3^{-2}<3^x<3^2$$
$$-2<x<2.$$
Ответ: а) $$x\in\left[\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right]$$; б) $$x\in[-1;1]$$; в) $$x\in\left(-\infty;-\frac{3}{4}\right]\cup\left[-\frac{1}{4};+\infty\right)$$; г) $$x\in(-2;2)$$.
