Упр.40.61 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$\frac{5}{12^x+143}\geq\frac{5}{12^{x+2}}$$; б) $$\frac{16^x+42}{16^x}\leq22$$; в) $$\frac{8}{11^x+120}\leq\frac{8}{11^{x+2}}$$; г) $$\frac{5^x+15}{5^x}<4$$.
а) $$\frac{5}{12^x+143}\ge \frac{5}{12^{x+2}}.$$
Так как $$5>0,$$ можно сократить на $$5$$:
$$\frac{1}{12^x+143}\ge \frac{1}{12^{x+2}}.$$
При положительных знаменателях получаем
$$12^x+143\le 12^{x+2}=144\cdot 12^x.$$
Тогда
$$143\le 143\cdot 12^x,$$
откуда
$$12^x\ge 1,$$
значит,
$$x\ge 0.$$
Ответ: $$x\in[0;+\infty).$$
б) $$\frac{16^x+42}{16^x}\le 22.$$
Поскольку $$16^x>0,$$ умножим обе части на $$16^x$$:
$$16^x+42\le 22\cdot 16^x.$$
Перенесём $$16^x$$ в правую часть:
$$42\le 21\cdot 16^x,$$
$$2\le 16^x.$$
Так как $$16^x=(2^4)^x=2^{4x},$$ то
$$2^{4x}\ge 2^1,$$
следовательно,
$$4x\ge 1,$$
$$x\ge \frac14.$$
Ответ: $$x\in\left[\frac14;+\infty\right).$$
в) $$\frac{8}{11^x+120}\le \frac{8}{11^{x+2}}.$$
Сократим на $$8>0$$:
$$\frac{1}{11^x+120}\le \frac{1}{11^{x+2}}.$$
При положительных знаменателях имеем
$$11^x+120\ge 11^{x+2}=121\cdot 11^x.$$
Тогда
$$120\ge 120\cdot 11^x,$$
откуда
$$11^x\le 1.$$
Значит,
$$x\le 0.$$
Ответ: $$x\in(-\infty;0].$$
г) $$\frac{5^x+15}{5^x}<4.$$
Так как $$5^x>0,$$ умножим обе части на $$5^x$$:
$$5^x+15<4\cdot 5^x.$$
Перенесём $$5^x$$ в правую часть:
$$15<3\cdot 5^x,$$
$$5^x>5.$$
Следовательно,
$$x>1.$$
Ответ: $$x\in(1;+\infty).$$
