Упр.40.59 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

а) $$5^{x^2-2x}\leq125$$; б) $$\left(\frac{1}{7}\right)^{2x^2-3x}\geq\frac{1}{49}$$; в) $$2^{-x^2+8x}>128$$; г) $$0{,}3^{x^2-x}>0{,}09$$?

а) $$5^{x^2-2x}\le 125=5^3.$$

Так как основание $$5>1,$$ получаем:

$$x^2-2x\le 3,$$

$$x^2-2x-3\le 0,$$

$$(x+1)(x-3)\le 0.$$

Отсюда $$-1\le x\le 3.$$

Целые решения: $$-1,\,0,\,1,\,2,\,3.$$

Их количество равно $$5.$$

б) $$\left(\frac17\right)^{2x^2-3x}\ge \frac1{49}=\left(\frac17\right)^2.$$

Так как основание $$0<\frac17<1,$$ знак неравенства меняется:

$$2x^2-3x\le 2,$$

$$2x^2-3x-2\le 0,$$

$$(2x+1)(x-2)\le 0.$$

Отсюда $$-\frac12\le x\le 2.$$

Целые решения: $$0,\,1,\,2.$$

Их количество равно $$3.$$

в) $$2^{-x^2+8x}>128=2^7.$$

Так как основание $$2>1,$$ получаем:

$$-x^2+8x>7,$$

$$x^2-8x+7<0,$$

$$(x-1)(x-7)<0.$$

Отсюда $$1<x<7.$$

Целые решения: $$2,\,3,\,4,\,5,\,6.$$

Их количество равно $$5.$$

г) $$0{,}3^{x^2-x}>0{,}09=0{,}3^2.$$

Так как основание $$0<0{,}3<1,$$ знак неравенства меняется:

$$x^2-x<2,$$

$$x^2-x-2<0,$$

$$(x-2)(x+1)<0.$$

Отсюда $$-1<x<2.$$

Целые решения: $$0,\,1.$$

Их количество равно $$2.$$

Ответ: а) $$5$$; б) $$3$$; в) $$5$$; г) $$2$$.