Упр.40.57 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства:

а) $$\frac{1}{64}<8^{-2x+3}<512$$;

б) $$\frac{1}{27}\leq\left(\frac{1}{9}\right)^{7-x}\leq243$$?

а) $$\frac{1}{64} < 8^{-2x+3} < 512$$

Представим числа в виде степеней числа $$8$$:

$$8^{-2} < 8^{-2x+3} < 8^3$$

Так как основание $$8>1$$, сравниваем показатели:

$$-2 < -2x+3 < 3$$

$$-5 < -2x < 0$$

$$0 < x < 2{,}5$$

Натуральные значения $$x$$: $$1$$ и $$2$$. Их два.

б) $$\frac{1}{27} \le \left(\frac{1}{9}\right)^{7-x} \le 243$$

Представим всё в виде степеней числа $$3$$:

$$3^{-3} \le 3^{-2(7-x)} \le 3^5$$

$$3^{-3} \le 3^{-14+2x} \le 3^5$$

Так как основание $$3>1$$, сравниваем показатели:

$$-3 \le -14+2x \le 5$$

$$11 \le 2x \le 19$$

$$5{,}5 \le x \le 9{,}5$$

Натуральные значения $$x$$: $$6, 7, 8, 9$$. Их четыре.

Ответ: а) $$2$$; б) $$4$$.