Упр.40.55 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$3^{\frac{x-4}{x}-3}<\frac{1}{27}$$; б) $$\left(\frac{8}{9}\right)^{\frac{6x-1}{x}-1}\ge\frac{81}{64}$$; в) $$8^{\frac{2-x}{x}-2}>\frac{1}{64}$$; г) $$\left(\frac{6}{11}\right)^{\frac{5x+1}{x}-1}\le\frac{121}{36}$$.

а) $$3^{\frac{x-4}{x}-3}<\frac{1}{27}$$

Так как $$\frac{1}{27}=3^{-3},$$ а функция $$3^t$$ возрастает, получаем:

$$\frac{x-4}{x}-3<-3$$

$$\frac{x-4}{x}<0$$

Рассмотрим знаки дроби. Она отрицательна при $$0<x<4.$$

Ответ: $$x\in(0;4).$$

б) $$\left(\frac{8}{9}\right)^{\frac{6x-1}{x}-1}\ge \frac{81}{64}$$

Заметим, что $$\frac{81}{64}=\left(\frac{8}{9}\right)^{-2},$$ а функция $$\left(\frac{8}{9}\right)^t$$ убывает, значит:

$$\frac{6x-1}{x}-1\le -2$$

$$\frac{6x-1}{x}+1\le 0$$

$$\frac{7x-1}{x}\le 0$$

Дробь не положительна при $$0<x\le \frac{1}{7}.$$

Ответ: $$x\in\left(0;\frac{1}{7}\right].$$

в) $$8^{\frac{2-x}{x}-2}>\frac{1}{64}$$

Так как $$\frac{1}{64}=8^{-2},$$ а функция $$8^t$$ возрастает, имеем:

$$\frac{2-x}{x}-2>-2$$

$$\frac{2-x}{x}>0$$

$$\frac{x-2}{x}<0$$

Дробь отрицательна при $$0<x<2.$$

Ответ: $$x\in(0;2).$$

г) $$\left(\frac{6}{11}\right)^{\frac{5x+1}{x}-1}\le \frac{121}{36}$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{121}{36}=\left(\frac{6}{11}\right)^{-2}.$$

Так как $$\frac{6}{11}<1,$$ функция $$\left(\frac{6}{11}\right)^t$$ убывает, поэтому:

$$\frac{5x+1}{x}-1\ge -2$$

$$\frac{5x+1}{x}+1\ge 0$$

$$\frac{6x+1}{x}\ge 0$$

Эта дробь неотрицательна при $$x\le -\frac{1}{6}$$ или $$x>0.$$

Ответ: $$x\in\left(-\infty;-\frac{1}{6}\right]\cup(0;+\infty).$$