Упр.40.54 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$19^{\frac{2x-3}{x+2}}\geq 1$$; б) $$0{,}36^{\frac{7x+1}{2-x}}<1$$; в) $$37^{\frac{5x-9}{x+6}}\leq 1$$; г) $$\left(\frac{29}{30}\right)^{\frac{9x-18}{6-x}}>1$$.

Используем теорему о показательной функции: если основание больше $$1$$, то

$$a^t \ge 1 \iff t \ge 0,\qquad a^t < 1 \iff t < 0.$$

а)

$$19^{\frac{2x-3}{x+2}} \ge 1$$

Так как $$19>1$$, получаем

$$\frac{2x-3}{x+2} \ge 0.$$

Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=\frac32$$.

Исследуем знаки дроби:

$$\frac{2x-3}{x+2} \ge 0 \iff x<-2 \ \text{или}\ x\ge \frac32.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-2)\cup\left[\frac32;+\infty\right).$$

б)

$$0{,}36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 1$$

Так как $$0<0{,}36<1$$, то

$$\frac{7x+1}{2-x} > 0.$$

Перепишем:

$$\frac{7x+1}{x-2} < 0.$$

Критические точки: $$x=-\frac17$$ и $$x=2$$.

Знак дроби отрицателен на промежутке

$$-\frac17<x<2.$$

Ответ: $$x\in\left(-\frac17;2\right).$$

в)

$$37^{\frac{5x-9}{x+6}} \le 1$$

Так как $$37>1$$, получаем

$$\frac{5x-9}{x+6} \le 0.$$

Критические точки: $$x=-6$$ и $$x=\frac95$$.

Тогда

$$-6<x\le \frac95.$$

Ответ: $$x\in\left(-6;\frac95\right].$$

г)

$$\left(\frac{29}{30}\right)^{\frac{9x-18}{6-x}} > 1$$

Так как $$0<\frac{29}{30}<1$$, то

$$\frac{9x-18}{6-x} < 0.$$

Преобразуем дробь:

$$\frac{9(x-2)}{6-x} < 0 \iff \frac{x-2}{x-6} > 0.$$

Критические точки: $$x=2$$ и $$x=6$$.

Дробь положительна при

$$x<2 \ \text{или}\ x>6.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;2)\cup(6;+\infty).$$