Упр.40.53 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$5^x \le -x+6$$; б) $$\left(\frac{1}{4}\right)^x > 3x+1$$; в) $$3^x \ge -x+4$$; г) $$\left(\frac{1}{2}\right)^x < 0{,}5x+5$$.

Рассмотрим каждое неравенство графически, сравнивая монотонность функций и точку их пересечения.

а)

$$5^x \le -x+6$$

Функция $$y=5^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$y=-x+6$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Найдём точку пересечения:

$$\begin{aligned} 5^x&=-x+6 \\ x&=1 \end{aligned}$$

При $$x=1$$ обе части равны $$5$$, значит, при $$x \le 1$$ выполняется неравенство.

Ответ: $$x \in (-\infty;1]$$.

б)

$$\left(\frac14\right)^x > 3x+1$$

Функция $$y=\left(\frac14\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$y=3x+1$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Найдём точку пересечения:

$$\begin{aligned} \left(\frac14\right)^x&=3x+1 \\ x&=0 \end{aligned}$$

При $$x=0$$ обе части равны $$1$$, а так как левая функция убывает, а правая возрастает, то неравенство выполняется при $$x<0$$.

Ответ: $$x \in (-\infty;0)$$.

в)

$$3^x \ge -x+4$$

Функция $$y=3^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$y=-x+4$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Точка пересечения:

$$\begin{aligned} 3^x&=-x+4 \\ x&=1 \end{aligned}$$

При $$x=1$$ обе части равны $$3$$, значит, неравенство выполняется при $$x \ge 1$$.

Ответ: $$x \in [1;+\infty)$$.

г)

$$\left(\frac12\right)^x < 0{,}5x+5$$

Функция $$y=\left(\frac12\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$y=0{,}5x+5$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Найдём точку пересечения:

$$\begin{aligned} \left(\frac12\right)^x&=0{,}5x+5 \\ x&=-2 \end{aligned}$$

При $$x=-2$$ обе части равны $$4$$. Так как левая функция убывает, а правая возрастает, то неравенство выполняется при $$x>-2$$.

Ответ: $$x \in (-2;+\infty)$$.