Упр.40.52 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$3^x<5^x$$; б) $$6^x\geq2^x$$; в) $$\left(\frac{12}{13}\right)^x\leq12^x$$; г) $$0{,}6^x>3^x$$.

Рассмотрим каждое неравенство по теореме о показательной функции.

1. $$3^x<5^x$$

   Так как $$5^x>0$$, разделим обе части на $$5^x$$:

   $$\frac{3^x}{5^x}<1$$
   $$\left(\frac35\right)^x<1$$

   Поскольку $$0<\frac35<1$$, то неравенство выполняется при

   $$x>0.$$

2. $$6^x\ge 2^x$$

   Разделим обе части на $$2^x>0$$:

   $$\frac{6^x}{2^x}\ge 1$$
   $$3^x\ge 1$$
   $$3^x\ge 3^0$$

   Так как основание $$3>1$$, получаем

   $$x\ge 0.$$

3. $$\left(\frac{12}{13}\right)^x\le 12^x$$

   Разделим обе части на $$12^x>0$$:

   $$\frac{\left(\frac{12}{13}\right)^x}{12^x}\le 1$$
   $$\left(\frac{1}{13}\right)^x\le 1$$
   $$\left(\frac{1}{13}\right)^x\le \left(\frac{1}{13}\right)^0$$

   Так как $$0<\frac{1}{13}<1$$, то

   $$x\ge 0.$$

4. $$0{,}6^x>3^x$$

   Разделим обе части на $$3^x>0$$:

   $$\frac{0{,}6^x}{3^x}>1$$
   $$\left(0{,}2\right)^x>1$$
   $$\left(0{,}2\right)^x>\left(0{,}2\right)^0$$

   Так как $$0<0{,}2<1$$, то

   $$x<0.$$

Ответ: а) $$x\in(0;+\infty)$$; б) $$x\in[0;+\infty)$$; в) $$x\in[0;+\infty)$$; г) $$x\in(-\infty;0)$$.