Упр.40.51 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$2^{2x+1}-5\cdot 2^x+2\geq 0$$; б) $$3^{2x+1}-10\cdot 3^x+3<0$$; в) $$\left(\frac{1}{4}\right)^{2x-1}+15\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^x-4<0$$; г) $$\left(0{,}5\right)^{2x-1}+3\cdot\left(0{,}5\right)^x-2\geq 0$$.

Положим в каждом пункте соответствующую показательную функцию за новую переменную.

а)

$$2^{2x+1}-5\cdot 2^x+2\ge 0$$

Пусть $$y=2^x,\quad y>0.$$ Тогда

$$2y^2-5y+2\ge 0$$

$$D=25-16=9$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}$$

$$y_1=\frac12,\quad y_2=2$$

Тогда

$$\left(y-\frac12\right)(y-2)\ge 0$$

Отсюда

$$0<y\le \frac12 \quad \text{или} \quad y\ge 2$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$2^x\le \frac12 \Rightarrow 2^x\le 2^{-1}\Rightarrow x\le -1,$$

$$2^x\ge 2 \Rightarrow x\ge 1.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$

б)

$$3^{2x+1}-10\cdot 3^x+3<0$$

Пусть $$y=3^x,\quad y>0.$$ Тогда

$$3y^2-10y+3<0$$

$$D=100-36=64$$

$$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}$$

$$y_1=\frac13,\quad y_2=3$$

Следовательно,

$$\frac13<y<3$$

То есть

$$\frac13<3^x<3$$

$$-1<x<1$$

Ответ: $$x\in(-1;1).$$

в)

$$\left(\frac14\right)^{2x-1}+15\left(\frac14\right)^x-4<0$$

Заметим, что

$$\left(\frac14\right)^{2x-1}=4\left(\frac14\right)^{2x}.$$

Пусть $$y=\left(\frac14\right)^x,\quad y>0.$$ Тогда

$$4y^2+15y-4<0$$

$$D=225+64=289$$

$$y_{1,2}=\frac{-15\pm 17}{8}$$

$$y_1=-4,\quad y_2=\frac14$$

Так как $$y>0,$$ получаем

$$0<y<\frac14$$

То есть

$$0<\left(\frac14\right)^x<\frac14$$

Так как основание $$\frac14<1,$$ то

$$x>1.$$

Ответ: $$x\in(1;+\infty).$$

г)

$$\left(0{,}5\right)^{2x-1}+3\left(0{,}5\right)^x-2\ge 0$$

Пусть $$y=\left(0{,}5\right)^x,\quad y>0.$$ Тогда

$$2y^2+3y-2\ge 0$$

$$D=9+16=25$$

$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}$$

$$y_1=-2,\quad y_2=\frac12$$

С учетом условия $$y>0$$ имеем

$$y\ge \frac12$$

То есть

$$\left(0{,}5\right)^x\ge \frac12$$

$$\left(\frac12\right)^x\ge \frac12=\left(\frac12\right)^1$$

Так как основание $$\frac12<1,$$ получаем

$$x\le 1.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;1].$$