Упр.40.50 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$3^{2x}-4\cdot3^x+3\leq0$$;
   б) $$5^{2x}+4\cdot5^x-5\geq0$$;
   в) $$0{,}2^{2x}-1{,}2\cdot0{,}2^x+0{,}2>0$$;
   г) $$\left(\frac{1}{7}\right)^{2x}+6\cdot\left(\frac{1}{7}\right)^x-7<0$$.

а) Сделаем замену $$3^x=y,\quad y>0.$$ Тогда получаем

$$y^2-4y+3\le 0$$

$$(y-1)(y-3)\le 0.$$

Отсюда $$1\le y\le 3.$$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ имеем

$$1\le 3^x\le 3.$$

Так как функция $$3^x$$ возрастает, то

$$0\le x\le 1.$$

Ответ: $$x\in[0;1].$$

б) Сделаем замену $$5^x=y,\quad y>0.$$ Тогда

$$y^2+4y-5\ge 0$$

$$(y-1)(y+5)\ge 0.$$

С учётом условия $$y>0$$ получаем $$y\ge 1.$$

Значит,

$$5^x\ge 1,$$

откуда

$$x\ge 0.$$

Ответ: $$x\in[0;+\infty).$$

в) Сделаем замену $$0{,}2^x=y,\quad y>0.$$ Тогда

$$y^2-1{,}2y+0{,}2>0.$$

Умножим на $$5$$:

$$5y^2-6y+1>0.$$

$$(5y-1)(y-1)>0.$$

Отсюда $$0<y<0{,}2$$ или $$y>1.$$

Возвращаясь к $$x,$$ получаем

$$0<0{,}2^x<0{,}2 \quad \text{или} \quad 0{,}2^x>1.$$

Так как $$0<0{,}2<1,$$ то

$$x>1 \quad \text{или} \quad x<0.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty).$$

г) Сделаем замену $$\left(\frac17\right)^x=y,\quad y>0.$$ Тогда

$$y^2+6y-7<0.$$

$$(y-1)(y+7)<0.$$

Отсюда $$-7<y<1.$$

С учётом условия $$y>0$$ получаем $$0<y<1.$$

Значит,

$$0<\left(\frac17\right)^x<1.$$

Так как $$0<\frac17<1,$$ то это возможно при

$$x>0.$$

Ответ: $$x\in(0;+\infty).$$