Упр.40.49 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$2^x+2^{x+2}\le 20$$; б) $$3^{2x-1}-3^{2x-3}<\frac{8}{3}$$; в) $$\left(\frac{1}{5}\right)^{3x+4}+\left(\frac{1}{5}\right)^{3x+5}>6$$; г) $$0{,}3^{6x-1}-0{,}3^{6x}\ge 0{,}7$$.

а) $$2^x+2^{x+2}\le 20$$

Вынесем $$2^x$$ за скобки:

$$2^x(1+2^2)\le 20$$

$$5\cdot 2^x\le 20$$

$$2^x\le 4=2^2$$

Так как основание $$2>1$$, получаем:

$$x\le 2$$

Ответ: $$x\in(-\infty;2]$$

б) $$3^{2x-1}-3^{2x-3}<\dfrac{8}{3}$$

Вынесем $$3^{2x-3}$$ за скобки:

$$3^{2x-3}(3^2-1)<\dfrac{8}{3}$$

$$3^{2x-3}\cdot 8<\dfrac{8}{3}$$

$$3^{2x-3}<\dfrac{1}{3}=3^{-1}$$

Так как основание $$3>1$$, получаем:

$$2x-3<-1$$

$$2x<2$$

$$x<1$$

Ответ: $$x\in(-\infty;1)$$

в) $$\left(\dfrac15\right)^{3x+4}+\left(\dfrac15\right)^{3x+5}>6$$

Вынесем $$\left(\dfrac15\right)^{3x+4}$$ за скобки:

$$\left(\dfrac15\right)^{3x+4}\left(1+\dfrac15\right)>6$$

$$\left(\dfrac15\right)^{3x+4}\cdot \dfrac65>6$$

$$\left(\dfrac15\right)^{3x+4}>5$$

$$\left(\dfrac15\right)^{3x+4}>\left(\dfrac15\right)^{-1}$$

Так как основание $$\dfrac15<1$$, знак неравенства при переходе к показателям меняется:

$$3x+4<-1$$

$$3x<-5$$

$$x<-\dfrac53$$

Ответ: $$x\in\left(-\infty;-\dfrac53\right)$$

г) $$0{,}3^{6x-1}-0{,}3^{6x}\ge 0{,}7$$

Вынесем $$0{,}3^{6x}$$ за скобки:

$$0{,}3^{6x}(0{,}3^{-1}-1)\ge 0{,}7$$

$$0{,}3^{6x}\left(\dfrac{10}{3}-1\right)\ge 0{,}7$$

$$0{,}3^{6x}\cdot \dfrac73\ge 0{,}7$$

$$0{,}3^{6x}\ge 0{,}7\cdot \dfrac37=\dfrac{3}{10}=0{,}3$$

$$0{,}3^{6x}\ge 0{,}3=0{,}3^1$$

Так как основание $$0{,}3<1$$, знак неравенства при переходе к показателям меняется:

$$6x\le 1$$

$$x\le \dfrac16$$

Ответ: $$x\in\left(-\infty;\dfrac16\right]$$