Упр.40.47 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$7^{x^2-5x}<\left(\frac{1}{7}\right)^6$$; б) $$0{,}6^{x^2-x}\geq\left(\frac{3}{5}\right)^6$$; в) $$11^{2x^2+3x}\leq121$$; г) $$0{,}3^{x^2-10x}>\left(3\frac{1}{3}\right)^{24}$$.
а) $$7^{x^2-5x}<\left(\frac17\right)^6=7^{-6}.$$
Так как основания равны и $$7>1,$$ получаем:
$$x^2-5x<-6,$$
$$x^2-5x+6<0,$$
$$\left(x-2\right)\left(x-3\right)<0.$$
Произведение отрицательно между корнями, значит
$$2<x<3.$$
б) $$0{,}6^{x^2-x}\ge \left(\frac35\right)^6=0{,}6^6.$$
Так как $$0<0{,}6<1,$$ знак неравенства при сравнении показателей меняется на противоположный:
$$x^2-x\le 6,$$
$$x^2-x-6\le 0,$$
$$\left(x-3\right)\left(x+2\right)\le 0.$$
Отсюда
$$-2\le x\le 3.$$
в) $$11^{2x^2+3x}\le 121=11^2.$$
Так как $$11>1,$$ получаем:
$$2x^2+3x\le 2,$$
$$2x^2+3x-2\le 0,$$
$$\left(2x-1\right)\left(x+2\right)\le 0.$$
Следовательно,
$$-2\le x\le \frac12.$$
г) $$0{,}3^{x^2-10x}>\left(3\frac13\right)^{24}=\left(\frac{10}{3}\right)^{24}.$$
Заметим, что
$$\frac{10}{3}=0{,}3^{-1},$$
поэтому
$$0{,}3^{x^2-10x}>0{,}3^{-24}.$$
Так как $$0<0{,}3<1,$$ получаем:
$$x^2-10x<-24,$$
$$x^2-10x+24<0,$$
$$\left(x-4\right)\left(x-6\right)<0.$$
Отсюда
$$4<x<6.$$
Ответ: а) $$x\in(2;3),$$ б) $$x\in[-2;3],$$ в) $$x\in\left[-2;\frac12\right],$$ г) $$x\in(4;6).$$
