Упр.40.45 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$2^{3x+6}\le\left(\frac{1}{4}\right)^{x-1}$$; б) $$\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3}>\left(\frac{12}{7}\right)^{3+2x}$$; в) $$25^{-x+3}\ge\left(\frac{1}{5}\right)^{3x-1}$$; г) $$\left(\frac{5}{3}\right)^{2x-8}<\left(\frac{9}{25}\right)^{-x+3}$$.

а) $$2^{3x+6}\le \left(\frac14\right)^{x-1}$$

Представим правую часть как степень числа $$2$$:

$$\left(\frac14\right)^{x-1}=(2^{-2})^{x-1}=2^{-2x+2}$$

Тогда

$$2^{3x+6}\le 2^{-2x+2}$$

Так как основание $$2>1$$, сравниваем показатели:

$$3x+6\le -2x+2$$

$$5x\le -4$$

$$x\le -\frac45$$

б) $$\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3}>\left(\frac{12}{7}\right)^{3+2x}$$

Заметим, что

$$\frac{12}{7}=\left(\frac{7}{12}\right)^{-1}$$

поэтому

$$\left(\frac{12}{7}\right)^{3+2x}=\left(\frac{7}{12}\right)^{-3-2x}$$

Получаем:

$$\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3}>\left(\frac{7}{12}\right)^{-3-2x}$$

Так как $$0<\frac{7}{12}<1$$, при сравнении показателей знак неравенства меняется:

$$-2x+3<-3-2x$$

$$3<-3$$

Это неверно, значит, решений нет.

в) $$25^{-x+3}\ge \left(\frac15\right)^{3x-1}$$

Представим $$25$$ как $$5^2$$:

$$25^{-x+3}=(5^2)^{-x+3}=5^{-2x+6}$$

А также

$$\left(\frac15\right)^{3x-1}=5^{-3x+1}$$

Тогда

$$5^{-2x+6}\ge 5^{-3x+1}$$

Так как основание $$5>1$$, сравниваем показатели:

$$-2x+6\ge -3x+1$$

$$x\ge -5$$

г) $$\left(\frac53\right)^{2x-8}<\left(\frac{9}{25}\right)^{-x+3}$$

Представим правую часть через основание $$\frac53$$:

$$\frac{9}{25}=\left(\frac35\right)^2=\left(\frac53\right)^{-2}$$

Тогда

$$\left(\frac53\right)^{2x-8}<\left(\frac53\right)^{-2(-x+3)}=\left(\frac53\right)^{2x-6}$$

Так как основание $$\frac53>1$$, сравниваем показатели:

$$2x-8<2x-6$$

$$-8<-6$$

Это верно при любом $$x$$.

Ответ

а) $$x\in\left(-\infty;-\frac45\right]$$; б) решений нет; в) $$x\in[-5;+\infty)$$; г) $$x\in\mathbb{R}$$.