Упр.40.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите, при каких значениях параметра $$a$$ уравнение не имеет корней:
   а) $$48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2}$$;
   б) $$9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0$$.

а) Преобразуем уравнение:

$$48\cdot 4^x+27=a+a\cdot 4^{x+2}$$

Так как $$4^{x+2}=16\cdot 4^x,$$ получаем

$$48\cdot 4^x+27=a+16a\cdot 4^x,$$

$$4^x(48-16a)=a-27,$$

$$4^x=\frac{a-27}{48-16a}=\frac{27-a}{16(a-3)}.$$

Поскольку $$4^x>0$$ при любом $$x,$$ уравнение не имеет корней, если правая часть не положительна:

$$\frac{a-27}{48-16a}\le 0.$$

Решаем неравенство:

$$\frac{a-27}{-16(a-3)}\le 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{a-27}{a-3}\ge 0.$$

Отсюда

$$a<3 \quad \text{или} \quad a\ge 27.$$

При $$a=3$$ получаем

$$48\cdot 4^x+27=3+3\cdot 4^{x+2},$$

$$48\cdot 4^x+27=3+48\cdot 4^x,$$

$$27=3,$$

что невозможно, значит корней тоже нет.

Итак, для пункта а):

$$a\in(-\infty;3]\cup[27;+\infty).$$

б) Преобразуем уравнение:

$$9^x+2a\cdot 3^{x+1}+9=0.$$

Так как $$9^x=3^{2x}$$ и $$3^{x+1}=3\cdot 3^x,$$ получаем

$$3^{2x}+6a\cdot 3^x+9=0.$$

Сделаем замену:

$$t=3^x,\quad t>0.$$

Тогда

$$t^2+6at+9=0.$$

Чтобы исходное уравнение не имело корней, квадратное уравнение по $$t$$ не должно иметь положительных корней.

Найдём дискриминант:

$$D=(6a)^2-4\cdot 1\cdot 9=36(a^2-1).$$

Если $$D<0,$$ то корней нет:

$$a^2-1<0 \quad \Longleftrightarrow \quad -1<a<1.$$

Если $$D\ge 0,$$ то корни равны

$$t_{1,2}=-3a\pm 3\sqrt{a^2-1}.$$

Для отсутствия корней нужно, чтобы оба корня были неположительными. Это выполняется при

$$a\ge 1.$$

Следовательно, уравнение не имеет корней при

$$a>-1.$$

Ответ

а) $$a\in(-\infty;3]\cup[27;+\infty);$$ б) $$a>-1.$$