Упр.40.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите, при каких значениях параметра $$a$$ показательное уравнение имеет корни: а) $$2^x=a$$; б) $$8^{3x+1}=a+3$$; в) $$\sqrt[3]{3^x}=-a$$; г) $$\left(\frac{1}{2}\right)^x=a^2$$.

Показательное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда его правая часть принимает значения, которые может принимать показательная функция.

Ход решения

1. $$2^x=a$$

   Так как $$2^x>0$$ при любом $$x$$, то уравнение имеет корни при

   $$a>0.$$

2. $$8^{3x+1}=a+3$$

   Левая часть всегда положительна, значит

   $$a+3>0,$$

   откуда

   $$a>-3.$$

3. $$\sqrt[3]{3^x}=-a$$

   Так как $$3^x>0$$ при любом $$x$$, то и $$\sqrt[3]{3^x}>0$$. Следовательно,

   $$-a>0,$$

   то есть

   $$a<0.$$

4. $$\left(\frac12\right)^x=a^2$$

   Правая часть должна быть положительной, а квадрат числа равен нулю только при $$a=0$$. Значит,

   $$a^2>0,$$

   то есть

   $$a\ne 0.$$

Ответ

а) $$a\in(0;+\infty)$$;

б) $$a\in(-3;+\infty)$$;

в) $$a\in(-\infty;0)$$;

г) $$a\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$