Упр.40.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\begin{cases}2^{2x}+2^x y=10,\\ y^2+y\cdot 2^x=15;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}7^{2x}-7^x y=28,\\ y^2-y\cdot 7^x=-12.\end{cases}$$

Положим в обоих пунктах $$t=2^x$$ и $$t=7^x$$ соответственно. Тогда $$t>0$$.

а)

Имеем систему

$$\begin{cases} t^2+t y=10,\\ y^2+t y=15. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$t^2-y^2= -5.$$

Удобнее разделить первое уравнение на второе:

$$\frac{t^2+t y}{y^2+t y}=\frac{10}{15}=\frac23.$$

Сократим на $$t+y$$:

$$\frac{t(t+y)}{y(t+y)}=\frac23,$$

откуда

$$\frac{t}{y}=\frac23,\qquad t=\frac{2y}{3}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$y^2+y\cdot \frac{2y}{3}=15,$$

$$y^2+\frac23y^2=15,$$

$$\frac53y^2=15,$$

$$y^2=9,\qquad y=\pm 3.$$

Так как $$t=2^x>0$$, то $$t=\frac{2y}{3}$$ должно быть положительным, значит подходит только $$y=3$$. Тогда

$$t=\frac{2\cdot 3}{3}=2.$$

Следовательно,

$$2^x=2,\qquad x=1.$$

б)

Имеем систему

$$\begin{cases} t^2-t y=28,\\ y^2-y t=-12. \end{cases}$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{t^2-t y}{y^2-y t}=\frac{28}{-12}=-\frac73.$$

Вынесем множители:

$$\frac{t(t-y)}{y(y-t)}=-\frac73.$$

Так как $$y-t=-(t-y)$$, получаем

$$-\frac{t}{y}=-\frac73,\qquad \frac{t}{y}=\frac73,\qquad t=\frac{7y}{3}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$y^2-y\cdot \frac{7y}{3}=-12,$$

$$y^2-\frac73y^2=-12,$$

$$-\frac43y^2=-12,$$

$$y^2=9,\qquad y=\pm 3.$$

Так как $$t=7^x>0$$, то подходит только $$y=3$$. Тогда

$$t=\frac{7\cdot 3}{3}=7.$$

Следовательно,

$$7^x=7,\qquad x=1.$$

Ответ: а) $$\left(1;3\right)$$; б) $$\left(1;3\right)$$.