Упр.40.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Система $$\begin{cases} \sqrt{3^{x-1}}\cdot\sqrt{9^y}=27,\\ \dfrac{2^{2x+y}}{2^x}=64. \end{cases}$$

Преобразуем уравнения к одинаковым основаниям.

а)

$$\begin{cases} \sqrt{3^{x-1}}\cdot \sqrt{9^y}=27,\\ \dfrac{2^{2x+y}}{2^x}=64 \end{cases}$$

$$\sqrt{3^{x-1}}=3^{\frac{x-1}{2}}, \qquad \sqrt{9^y}=\sqrt{(3^2)^y}=3^y,$$
поэтому
$$3^{\frac{x-1}{2}} \cdot 3^y = 3^3.$$
Тогда
$$\frac{x-1}{2}+y=3,$$
$$x-1+2y=6,$$
$$x+2y=7.$$

Во втором уравнении:
$$\dfrac{2^{2x+y}}{2^x}=2^{2x+y-x}=2^{x+y}=64=2^6,$$
значит
$$x+y=6.$$

Решаем систему:
$$\begin{cases} x+2y=7,\\ x+y=6 \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$y=1.$$
Тогда
$$x+1=6,$$
$$x=5.$$

Ответ: $$(5;1).$$

б)

$$\begin{cases} \sqrt{6^{x-2y}}:\sqrt{6^x}=\dfrac16,\\ \left(\dfrac13\right)^{2x-y}\cdot 3^{x-2y}=\dfrac13 \end{cases}$$

Первое уравнение:
$$\dfrac{\sqrt{6^{x-2y}}}{\sqrt{6^x}}=\dfrac16.$$
Переходим к степеням:
$$6^{\frac{x-2y}{2}} \cdot 6^{-\frac{x}{2}}=6^{-1},$$
$$6^{\frac{x-2y-x}{2}}=6^{-1},$$
$$6^{-y}=6^{-1},$$
откуда
$$y=1.$$

Во втором уравнении:
$$\left(\dfrac13\right)^{2x-y}\cdot 3^{x-2y}=3^{-1}.$$
Так как
$$\left(\dfrac13\right)^{2x-y}=3^{-(2x-y)}=3^{-2x+y},$$
то
$$3^{-2x+y}\cdot 3^{x-2y}=3^{-1}.$$
Следовательно,
$$-2x+y+x-2y=-1,$$
$$-x-y=-1,$$
$$x+y=1.$$

Подставим $$y=1$$:
$$x+1=1,$$
$$x=0.$$

Ответ: $$(0;1).$$