Упр.40.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) система $$\begin{cases}\sqrt{3}^{\,x+2y}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{27},\\0{,}1^x\cdot10^{3y}=10;\end{cases}$$
б) система $$\begin{cases}27^y\cdot3^x=1,\\\left(\frac{1}{2}\right)^x\cdot4^y=2.\end{cases}$$
а) $$\begin{cases}(\sqrt{3})^{x+2y}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{27},\\ 0{,}1^x\cdot 10^{3y}=10.\end{cases}$$
Преобразуем правые части:
$$\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3^3}=(\sqrt{3})^4,$$
$$0{,}1^x\cdot 10^{3y}=10^{-x}\cdot 10^{3y}=10^{3y-x}=10^1.$$
Тогда получаем систему:
$$\begin{cases}x+2y=4,\\ -x+3y=1.\end{cases}$$
Из первого уравнения $$x=4-2y.$$ Подставим во второе:
$$-(4-2y)+3y=1,$$
$$-4+5y=1,$$
$$5y=5,$$
$$y=1.$$
Тогда
$$x=4-2\cdot 1=2.$$
Ответ: $$\,(2;\,1).$$
б) $$\begin{cases}27^y\cdot 3^x=1,\\ \left(\dfrac12\right)^x\cdot 4^y=2.\end{cases}$$
Преобразуем к одному основанию:
$$27^y\cdot 3^x=(3^3)^y\cdot 3^x=3^{3y+x}=1=3^0,$$
$$\left(\dfrac12\right)^x\cdot 4^y=2^{-x}\cdot 2^{2y}=2^{2y-x}=2^1.$$
Получаем систему:
$$\begin{cases}3y+x=0,\\ 2y-x=1.\end{cases}$$
Из первого уравнения $$x=-3y.$$ Подставим во второе:
$$2y-(-3y)=1,$$
$$5y=1,$$
$$y=\dfrac15.$$
Тогда
$$x=-3\cdot\dfrac15=-\dfrac35.$$
Ответ: $$\left(-\dfrac35;\,\dfrac15\right).$$
в) $$\begin{cases}(\sqrt5)^{2x+y}=\sqrt{\dfrac15}\cdot\sqrt5,\\ \left(\dfrac15\right)^x\cdot 5^y=125.\end{cases}$$
Преобразуем:
$$\sqrt{\dfrac15}\cdot\sqrt5=\sqrt{\dfrac15\cdot 5}=1=(\sqrt5)^0,$$
$$\left(\dfrac15\right)^x\cdot 5^y=5^{-x}\cdot 5^y=5^{y-x}=5^3.$$
Тогда
$$\begin{cases}2x+y=0,\\ y-x=3.\end{cases}$$
Из первого уравнения $$y=-2x.$$ Подставим во второе:
$$-2x-x=3,$$
$$-3x=3,$$
$$x=-1,$$
$$y=-2\cdot(-1)=2.$$
Ответ: $$(-1;\,2).$$
г) $$\begin{cases}5^y\cdot 25^x=625,\\ \left(\dfrac13\right)^x\cdot 9^y=\dfrac1{27}.\end{cases}$$
Преобразуем к одинаковым основаниям:
$$5^y\cdot 25^x=5^y\cdot (5^2)^x=5^{y+2x}=5^4,$$
$$\left(\dfrac13\right)^x\cdot 9^y=3^{-x}\cdot 3^{2y}=3^{2y-x}=3^{-3}.$$
Получаем систему:
$$\begin{cases}y+2x=4,\\ 2y-x=-3.\end{cases}$$
Из первого уравнения $$y=4-2x.$$ Подставим во второе:
$$2(4-2x)-x=-3,$$
$$8-4x-x=-3,$$
$$-5x=-11,$$
$$x=\dfrac{11}{5}=2{,}2.$$
Тогда
$$y=4-2\cdot 2{,}2=-0{,}4.$$
Ответ: $$\left(2{,}2;\,-0{,}4\right).$$
