Упр.40.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений:

а) $$\begin{cases}2^{x+y}=16,\\3^y=27^x;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}0{,}5^{3x}\cdot0{,}5^y=0{,}5,\\2^{3x}\cdot2^{-y}=32.\end{cases}$$

а) Из второго уравнения получаем:

$$3^y=27^x=3^{3x},$$

значит, $$y=3x.$$

Из первого уравнения:

$$2^{x+y}=16=2^4,$$

следовательно, $$x+y=4.$$

Подставим $$y=3x$$:

$$x+3x=4,$$

$$4x=4,$$

$$x=1,$$

$$y=3\cdot 1=3.$$

Ответ: $$(1; 3).$$

б) Преобразуем уравнения к одинаковым основаниям:

$$0{,}5^{3x}\cdot 0{,}5^y=0{,}5^{3x+y}=0{,}5=0{,}5^1,$$

откуда $$3x+y=1.$$

Во втором уравнении:

$$2^{3x}\cdot 2^{-y}=2^{3x-y}=32=2^5,$$

значит, $$3x-y=5.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} 3x+y=1,\\ 3x-y=5. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$6x=6,$$

$$x=1.$$

Тогда

$$y=1-3x=1-3=-2.$$

Ответ: $$(1; -2).$$

в) Имеем:

$$5^{2x-y}=125=5^3,$$

значит, $$2x-y=3.$$

Также

$$4^{x-y}=4=4^1,$$

откуда $$x-y=1.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} 2x-y=3,\\ x-y=1. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$x=2.$$

Тогда

$$y=x-1=1.$$

Ответ: $$(2; 1).$$

г) Преобразуем уравнения:

$$0{,}6^{x+y}\cdot 0{,}6^x=0{,}6^{2x+y}=0{,}6=0{,}6^1,$$

значит, $$2x+y=1.$$

Во втором уравнении:

$$10^x\cdot 10^y=10^{x+y}=(0{,}01)^{-1}=100=10^2,$$

откуда $$x+y=2.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} 2x+y=1,\\ x+y=2. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$x=-1.$$

Тогда

$$y=2-(-1)=3.$$

Ответ: $$( -1; 3).$$