Упр.40.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$5^{2x^2-1}-3\cdot5^{x+1}(x+2)=2\cdot5^6(x+1);$$
   б) $$3^{2x^2-1}-3^{x-1}(x+5)=2\cdot3^8(x-1).$$

а) $$5^{2x^2-1}-3\cdot 5^{(x+1)(x+2)}=2\cdot 5^{6(x+1)}$$

Преобразуем показатели степеней:

$$5^{2x^2-1}-3\cdot 5^{x^2+3x+2}=2\cdot 5^{6x+6}$$

Разделим обе части на $$5^{6x+6}$$:

$$5^{2x^2-6x-7}-3\cdot 5^{x^2-3x-4}=2$$

Сделаем замену:

$$y=5^{x^2-3x-4}$$

Тогда

$$5y^2-3y-2=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=3^2+4\cdot 5\cdot 2=49$$

$$y_{1,2}=\frac{3\pm 7}{10}$$

$$y_1=1,\qquad y_2=-\frac{2}{5}$$

Так как $$5^{x^2-3x-4}>0$$, значение $$y_2$$ не подходит. Получаем:

$$5^{x^2-3x-4}=1$$

Тогда

$$x^2-3x-4=0$$

$$D=9+16=25$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}$$

$$x_1=-1,\qquad x_2=4$$

Ответ: $$-1; 4$$

б) $$3^{2x^2-1}-3^{(x-1)(x+5)}=2\cdot 3^{8(x-1)}$$

Преобразуем показатели степеней:

$$3^{2x^2-1}-3^{x^2+4x-5}=2\cdot 3^{8x-8}$$

Разделим обе части на $$3^{8x-8}$$:

$$3^{2x^2-8x+7}-3^{x^2-4x+3}=2$$

Сделаем замену:

$$y=3^{x^2-4x+3}$$

Тогда

$$3y^2-y-2=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1+24=25$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{6}$$

$$y_1=1,\qquad y_2=-\frac{2}{3}$$

Так как $$3^{x^2-4x+3}>0$$, значение $$y_2$$ не подходит. Получаем:

$$3^{x^2-4x+3}=1$$

Тогда

$$x^2-4x+3=0$$

$$D=16-12=4$$

$$x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}$$

$$x_1=1,\qquad x_2=3$$

Ответ: $$1; 3$$