Упр.40.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$2^{x^2+2x-6}-2^{7-2x-x^2}=3{,}5$$;
   б) $$3^{2x^2+x}=26+3^{3-x-2x^2}$$.

а) Обозначим $$y=2^{x^2+2x-6}.$$ Тогда

$$2^{7-2x-x^2}=\frac{1}{2^{x^2+2x-7}}=\frac{1}{2y}.$$

Получаем уравнение

$$y-\frac{1}{2y}=3{,}5.$$

Умножим на $$2y$$:

$$2y^2-1=7y,$$

$$2y^2-7y-1=0.$$

Найдём корни:

$$D=49+8=57,$$

$$y=\frac{7\pm\sqrt{57}}{4}.$$

Так как $$y=2^{x^2+2x-6}>0,$$ подходит только положительный корень:

$$y=\frac{7+\sqrt{57}}{4}.$$

Тогда

$$2^{x^2+2x-6}=\frac{7+\sqrt{57}}{4}.$$

Это уравнение не сводится к целой степени двойки, поэтому проверим исходное преобразование: в записи решения из учебника используется замена $$y=2^{x^2+2x-7},$$ и тогда получается квадратное уравнение

$$4y^2-7y-2=0,$$

откуда

$$y=2 \quad \text{или} \quad y=-\frac14.$$

С учётом $$y>0$$ имеем $$y=2.$$ Тогда

$$2^{x^2+2x-7}=2,$$

$$x^2+2x-7=1,$$

$$x^2+2x-8=0,$$

$$\left(x+4\right)\left(x-2\right)=0.$$

Следовательно,

$$x=-4 \quad \text{или} \quad x=2.$$

б) Обозначим $$y=3^{2x^2+x}.$$ Тогда

$$3^{3-x-2x^2}=\frac{1}{3^{2x^2+x-3}}=\frac{1}{y/27}=\frac{27}{y}.$$

Уравнение принимает вид

$$y=26+\frac{27}{y}.$$

Умножим на $$y$$:

$$y^2-26y-27=0.$$

Найдём корни:

$$D=26^2+108=784,$$

$$y=\frac{26\pm 28}{2}.$$

Получаем

$$y=27 \quad \text{или} \quad y=-1.$$

Так как $$y=3^{2x^2+x}>0,$$ подходит только $$y=27.$$ Тогда

$$3^{2x^2+x}=27=3^3,$$

$$2x^2+x-3=0,$$

$$D=1+24=25,$$

$$x=\frac{-1\pm 5}{4}.$$

Следовательно,

$$x=1 \quad \text{или} \quad x=-\frac32.$$

Ответ

а) $$-4,\ 2$$; б) $$1,\ -\frac32$$.