Упр.40.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$18^x-8\cdot6^x-9\cdot2^x=0$$; б) $$12^x-6^{x+1}+8\cdot3^x=0$$.

а) Преобразуем уравнение:

$$18^x-8\cdot 6^x-9\cdot 2^x=0$$

$$2^x\left(9^x-8\cdot 3^x-9\right)=0$$

Так как $$2^x>0$$ при любом $$x$$, получаем:

$$9^x-8\cdot 3^x-9=0$$

Сделаем замену:

$$3^x=t,\quad t>0$$

Тогда

$$t^2-8t-9=0$$

$$D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot(-9)=64+36=100$$

$$t_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}$$

$$t_1=9,\quad t_2=-1$$

Так как $$t>0$$, значение $$t_2=-1$$ не подходит. Значит,

$$3^x=9$$

$$3^x=3^2$$

$$x=2$$

Ответ: $$2$$.

б) Преобразуем уравнение:

$$12^x-6^{x+1}+8\cdot 3^x=0$$

$$3^x\left(4^x-6\cdot 2^x+8\right)=0$$

Так как $$3^x>0$$ при любом $$x$$, получаем:

$$4^x-6\cdot 2^x+8=0$$

Сделаем замену:

$$2^x=t,\quad t>0$$

Тогда

$$t^2-6t+8=0$$

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4$$

$$t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}$$

$$t_1=4,\quad t_2=2$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$2^x=4=2^2 \Rightarrow x=2$$

$$2^x=2=2^1 \Rightarrow x=1$$

Ответ: $$1; 2$$.