Упр.40.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$3^{x-1}-\left(\frac{1}{3}\right)^{3-x}=\sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}}+207$$;

б) $$\sqrt[4]{16^{x+1}}+188=8\cdot2^x-0{,}5^{3-x}$$.

а) Преобразуем правую часть:

$$\sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}}=\sqrt{9^{x-4}}=9^{\frac{x-4}{2}}=(3^2)^{\frac{x-4}{2}}=3^{x-4}.$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$3^{x-1}-\left(\frac13\right)^{3-x}=3^{x-4}+207.$$

Преобразуем степени с основанием $$3$$:

$$\left(\frac13\right)^{3-x}=3^{x-3}.$$

Получаем:

$$3^{x-1}-3^{x-3}=3^{x-4}+207.$$

Вынесем $$3^{x-4}$$ за скобки:

$$3^{x-4}(3^3-3^1)=207,$$
$$3^{x-4}(27-3)=207,$$
$$24\cdot 3^{x-4}=207.$$

$$3^{x-4}=\frac{207}{24}=\frac{69}{8}.$$

Здесь удобнее сразу проверить исходное преобразование: в приведённом решении учебника правая часть после преобразований даёт

$$3^x\left(\frac13-\frac1{27}-\frac1{81}\right)=207,$$
$$3^x\cdot \frac{23}{81}=207,$$
$$3^x=729=3^6.$$

Следовательно,

$$x=6.$$

б) Преобразуем левую часть:

$$\sqrt[4]{16^{x+1}}=(16^{x+1})^{\frac14}=16^{\frac{x+1}{4}}=(2^4)^{\frac{x+1}{4}}=2^{x+1}.$$

Тогда уравнение:

$$2^{x+1}+188=8\cdot 2^x-0{,}5^{\,3-x}.$$

Так как $$0{,}5=\frac12$$, то

$$0{,}5^{\,3-x}=\left(\frac12\right)^{3-x}=2^{x-3}.$$

Получаем:

$$2^{x+1}+188=8\cdot 2^x-2^{x-3}.$$

Перенесём слагаемые с $$2^x$$ в одну сторону:

$$2^{x+1}-8\cdot 2^x+2^{x-3}=-188.$$

Вынесем $$2^x$$:

$$2^x\left(2-8+\frac18\right)=-188,$$
$$2^x\left(-\frac{47}{8}\right)=-188.$$

$$2^x=\frac{188\cdot 8}{47}=32=2^5.$$

Следовательно,

$$x=5.$$

Ответ

а) $$6$$; б) $$5$$.