Упр.40.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$4(\sqrt{5}-2)^{x-12}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}+2}\right)^{x-12}$$;

б) $$9(3-\sqrt{8})^{2x+1}=\left(\frac{3}{3+\sqrt{8}}\right)^{2x+1}$$.

а) $$4(\sqrt{5}-2)^{x-12}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}+2}\right)^{x-12}$$

Заметим, что

$$\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)=5-4=1,$$

значит

$$\frac{2}{\sqrt{5}+2}=2(\sqrt{5}-2).$$

Тогда уравнение можно записать так:

$$4(\sqrt{5}-2)^{x-12}=2^{x-12}(\sqrt{5}-2)^{x-12}.$$

Так как $$\sqrt{5}-2\neq 0,$$ сокращаем на $$\left(\sqrt{5}-2\right)^{x-12}$$:

$$4=2^{x-12}.$$

Представим $$4$$ как степень двойки:

$$2^2=2^{x-12}.$$

Следовательно,

$$x-12=2,$$

$$x=14.$$

Ответ: $$14$$.

б) $$9(3-\sqrt{8})^{2x+1}=\left(\frac{3}{3+\sqrt{8}}\right)^{2x+1}$$

Так как

$$\left(3-\sqrt{8}\right)\left(3+\sqrt{8}\right)=9-8=1,$$

то

$$\frac{3}{3+\sqrt{8}}=3(3-\sqrt{8}).$$

Тогда

$$9(3-\sqrt{8})^{2x+1}=3^{2x+1}(3-\sqrt{8})^{2x+1}.$$

Сократим на $$\left(3-\sqrt{8}\right)^{2x+1}$$:

$$9=3^{2x+1}.$$

Представим $$9$$ как степень тройки:

$$3^2=3^{2x+1}.$$

Значит,

$$2x+1=2,$$

$$2x=1,$$

$$x=\frac{1}{2}.$$

Ответ: $$\frac{1}{2}$$.