Упр.40.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$3\cdot 2^{2x}+6^x-2\cdot 3^{2x}=0$$;
б) $$2\cdot 2^{2x}-3\cdot 10^x-5\cdot 5^{2x}=0$$;
в) $$3^{2x+1}-4\cdot 21^x-7\cdot 7^{2x}=0$$;
г) $$5\cdot 3^{2x}+7\cdot 15^x-6\cdot 25^x=0$$.
а) $$3\cdot 2^{2x}+6^x-2\cdot 3^{2x}=0$$
Разделим обе части на $$3^{2x}$$:
$$3\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}+\left(\frac{2}{3}\right)^x-2=0.$$
Пусть $$y=\left(\frac{2}{3}\right)^x,$$ тогда $$y>0$$ и получаем:
$$3y^2+y-2=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$y_1=\frac{-1-5}{6}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+5}{6}=\frac23.$$
Так как $$y>0,$$ значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда
$$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac23,$$
откуда $$x=1.$$
б) $$2\cdot 2^{2x}-3\cdot 10^x-5\cdot 5^{2x}=0$$
Разделим обе части на $$5^{2x}$$:
$$2\left(\frac25\right)^{2x}-3\left(\frac25\right)^x-5=0.$$
Пусть $$y=\left(\frac25\right)^x,$$ тогда $$y>0$$ и
$$2y^2-3y-5=0.$$
$$D=9+40=49,$$
$$y_1=\frac{3-7}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{3+7}{4}=\frac52.$$
Значение $$y=-1$$ не подходит, значит
$$\left(\frac25\right)^x=\frac52.$$
Так как $$\frac52=\left(\frac25\right)^{-1},$$ то $$x=-1.$$
в) $$3^{2x+1}-4\cdot 21^x-7\cdot 7^{2x}=0$$
Разделим обе части на $$7^{2x}$$:
$$3\left(\frac37\right)^{2x}-4\left(\frac37\right)^x-7=0.$$
Пусть $$y=\left(\frac37\right)^x,$$ тогда $$y>0$$ и
$$3y^2-4y-7=0.$$
$$D=16+84=100,$$
$$y_1=\frac{4-10}{6}=-1,\qquad y_2=\frac{4+10}{6}=\frac73.$$
Значение $$y=-1$$ не подходит, значит
$$\left(\frac37\right)^x=\frac73.$$
Так как $$\frac73=\left(\frac37\right)^{-1},$$ то $$x=-1.$$
г) $$5\cdot 3^{2x}+7\cdot 15^x-6\cdot 25^x=0$$
Разделим обе части на $$5^{2x}$$:
$$5\left(\frac35\right)^{2x}+7\left(\frac35\right)^x-6=0.$$
Пусть $$y=\left(\frac35\right)^x,$$ тогда $$y>0$$ и
$$5y^2+7y-6=0.$$
$$D=49+120=169,$$
$$y_1=\frac{-7-13}{10}=-2,\qquad y_2=\frac{-7+13}{10}=\frac35.$$
Значение $$y=-2$$ не подходит, значит
$$\left(\frac35\right)^x=\frac35,$$
откуда $$x=1.$$
Ответ: а) $$1$$; б) $$-1$$; в) $$-1$$; г) $$1$$.
