Упр.40.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$18^x — 8 \ast 6^x — 9 \ast 2^x = 0$$; б) $$12^x — 6^{x+1} + 8 \ast 3^x = 0$$.

а) Преобразуем уравнение:

$$18^x-8\cdot 6^x-9\cdot 2^x=0$$

$$2^x(9^x-8\cdot 3^x-9)=0$$

$$3^{2x}-8\cdot 3^x-9=0$$

Сделаем замену $$3^x=y,\quad y>0.$$ Тогда получаем:

$$y^2-8y-9=0$$

$$D=8^2+4\cdot 9=64+36=100$$

$$y_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}$$

$$y_1=9,\quad y_2=-1$$

Так как $$y>0,$$ значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда

$$3^x=9$$

$$x=2$$

Ответ: $$2$$

б) Преобразуем уравнение:

$$12^x-6^{x+1}+8\cdot 3^x=0$$

$$3^x(4^x-6\cdot 2^x+8)=0$$

$$2^{2x}-6\cdot 2^x+8=0$$

Сделаем замену $$2^x=y,\quad y>0.$$ Тогда:

$$y^2-6y+8=0$$

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4$$

$$y_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}$$

$$y_1=4,\quad y_2=2$$

Возвращаемся к замене:

$$2^x=4 \Rightarrow x=2$$

$$2^x=2 \Rightarrow x=1$$

Ответ: $$1; 2$$