Упр.40.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$6^{2x+4}=2^{8+x}\cdot3^{3x}$$; б) $$35^{4x+2}=5^{3x+4}\cdot7^{5x}$$.

а) $$6^{2x+4}=2^{8+x}\cdot 3^{3x}$$

Представим левую часть как произведение степеней простых множителей:

$$\left(2\cdot 3\right)^{2x+4}=2^{8+x}\cdot 3^{3x}$$

$$2^{2x+4}\cdot 3^{2x+4}=2^{8+x}\cdot 3^{3x}$$

Разделим обе части на $$2^{8+x}\cdot 3^{2x+4}$$:

$$2^{2x+4-(8+x)}=3^{3x-(2x+4)}$$

$$2^{x-4}=3^{x-4}$$

Тогда

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{x-4}=1$$

Отсюда $$x-4=0$$, значит $$x=4$$.

Ответ: $$4$$.

б) $$35^{4x+2}=5^{3x+4}\cdot 7^{5x}$$

Так как $$35=5\cdot 7$$, получаем:

$$\left(5\cdot 7\right)^{4x+2}=5^{3x+4}\cdot 7^{5x}$$

$$5^{4x+2}\cdot 7^{4x+2}=5^{3x+4}\cdot 7^{5x}$$

Разделим обе части на $$5^{3x+4}\cdot 7^{4x+2}$$:

$$5^{4x+2-(3x+4)}=7^{5x-(4x+2)}$$

$$5^{x-2}=7^{x-2}$$

Следовательно,

$$\left(\frac{5}{7}\right)^{x-2}=1$$

Отсюда $$x-2=0$$, значит $$x=2$$.

Ответ: $$2$$.