Упр.40.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$2^{2x+1}-5\cdot2^x-88=0$$; б) $$\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}-\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}-32=0$$; в) $$5^{2x+1}-26\cdot5^x+5=0$$; г) $$\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}+\left(\frac{1}{3}\right)^{x-2}-162=0$$.

Пусть $$y=2^x$$, тогда в пункте а) получаем:

$$2\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^x-88=0$$

$$2y^2-5y-88=0$$

$$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot(-88)=25+704=729$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 27}{4}$$

$$y_1=8,\quad y_2=-\frac{11}{2}$$

Так как $$2^x>0$$, то подходит только $$y=8$$:

$$2^x=8$$

$$x=3$$

В пункте б) пусть $$y=\left(\frac12\right)^x$$. Тогда:

$$\left(\frac12\right)^{2x}-\left(\frac12\right)^{x-2}-32=0$$

$$y^2-4y-32=0$$

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-32)=16+128=144$$

$$y_{1,2}=\frac{4\pm 12}{2}$$

$$y_1=8,\quad y_2=-4$$

Подходит только $$y=8$$:

$$\left(\frac12\right)^x=8=2^3$$

$$2^{-x}=2^3$$

$$x=-3$$

В пункте в) пусть $$y=5^x$$. Тогда:

$$5\cdot 5^{2x}-26\cdot 5^x+5=0$$

$$5y^2-26y+5=0$$

$$D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=676-100=576$$

$$y_{1,2}=\frac{26\pm 24}{10}$$

$$y_1=5,\quad y_2=\frac15$$

Следовательно,

$$5^x=5 \Rightarrow x=1$$

$$5^x=\frac15=5^{-1} \Rightarrow x=-1$$

В пункте г) пусть $$y=\left(\frac13\right)^x$$. Тогда:

$$\left(\frac13\right)^{2x}+\left(\frac13\right)^{x-2}-162=0$$

$$y^2+9y-162=0$$

$$D=9^2-4\cdot 1\cdot(-162)=81+648=729$$

$$y_{1,2}=\frac{-9\pm 27}{2}$$

$$y_1=9,\quad y_2=-18$$

Подходит только $$y=9$$:

$$\left(\frac13\right)^x=9=3^2$$

$$3^{-x}=3^2$$

$$x=-2$$

Ответ

а) $$3$$; б) $$-3$$; в) $$1$$, $$-1$$; г) $$-2$$.