Упр.40.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$4\cdot\left(\frac{1}{16}\right)^x-17\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^x+4=0$$;
б) $$0{,}01^x+9{,}9\cdot(0{,}1)^x-1=0$$;
в) $$3\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^x+7\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^x-6=0$$;
г) $$5\cdot\left(\frac{4}{25}\right)^x+23\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^x-10=0$$.

Решим уравнения, используя замену переменной.

а)

$$4\left(\frac{1}{16}\right)^x-17\left(\frac{1}{4}\right)^x+4=0$$
$$4\left(\frac{1}{4}\right)^{2x}-17\left(\frac{1}{4}\right)^x+4=0$$
Пусть $$y=\left(\frac{1}{4}\right)^x,\quad y>0.$$ Тогда получаем:
$$4y^2-17y+4=0$$
$$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225$$
$$y_{1,2}=\frac{17\pm 15}{8}$$
$$y_1=4,\quad y_2=\frac14$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\left(\frac14\right)^x=4 \Rightarrow x=-1$$
$$\left(\frac14\right)^x=\frac14 \Rightarrow x=1$$

б)

$$0{,}01^x+9{,}9\cdot (0{,}1)^x-1=0$$
$$0{,}01^x=(0{,}1)^{2x}$$
Пусть $$y=(0{,}1)^x,\quad y>0.$$ Тогда:
$$y^2+9{,}9y-1=0$$
$$D=9{,}9^2+4=98{,}01+4=102{,}01$$
$$y_{1,2}=\frac{-9{,}9\pm 10{,}1}{2}$$
$$y_1=0{,}1,\quad y_2=-10$$
Так как $$y>0,$$ корень $$y=-10$$ не подходит. Тогда
$$(0{,}1)^x=0{,}1 \Rightarrow x=1.$$

в)

$$3\left(\frac49\right)^x+7\left(\frac23\right)^x-6=0$$
$$3\left(\frac23\right)^{2x}+7\left(\frac23\right)^x-6=0$$
Пусть $$y=\left(\frac23\right)^x,\quad y>0.$$ Тогда:
$$3y^2+7y-6=0$$
$$D=7^2+4\cdot 3\cdot 6=49+72=121$$
$$y_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{6}$$
$$y_1=\frac23,\quad y_2=-3$$
Корень $$y=-3$$ не подходит, значит
$$\left(\frac23\right)^x=\frac23 \Rightarrow x=1.$$

г)

$$5\left(\frac{4}{25}\right)^x+23\left(\frac25\right)^x-10=0$$
$$5\left(\frac25\right)^{2x}+23\left(\frac25\right)^x-10=0$$
Пусть $$y=\left(\frac25\right)^x,\quad y>0.$$ Тогда:
$$5y^2+23y-10=0$$
$$D=23^2+4\cdot 5\cdot 10=529+200=729$$
$$y_{1,2}=\frac{-23\pm 27}{10}$$
$$y_1=\frac25,\quad y_2=-5$$
Корень $$y=-5$$ не подходит, значит
$$\left(\frac25\right)^x=\frac25 \Rightarrow x=1.$$

Ответ: а) $$x=-1,\,1$$; б) $$x=1$$; в) $$x=1$$; г) $$x=1$$.