Упр.40.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}$$; б) $$2^{13-x^2}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{32}$$; в) $$3^x\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{x+1}}=243$$; г) $$\left(0{,}1^{\sqrt{x+1}}\right)^{x+6}=\frac{1}{10^6}$$.

а) $$27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}$$

$$3^{3\sqrt{x-1}}=3^{x+1}$$

$$3\sqrt{x-1}=x+1$$

$$9(x-1)=x^2+2x+1$$

$$x^2-7x+10=0$$

$$D=49-40=9$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm 3}{2}$$

$$x_1=2,\quad x_2=5$$

Оба корня удовлетворяют области допустимых значений.

б) $$2^{\sqrt{13-x^2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{32}$$

$$2^{\sqrt{13-x^2}}=2^{\frac12}\cdot 2^{\frac52}=2^3$$

$$\sqrt{13-x^2}=3$$

$$13-x^2=9$$

$$x^2=4$$

$$x=\pm 2$$

Оба корня подходят.

в) $$3^x\cdot\left(\frac13\right)^{\sqrt{x+1}}=243$$

$$3^x\cdot 3^{-\sqrt{x+1}}=3^5$$

$$x-\sqrt{x+1}=5$$

$$\sqrt{x+1}=x-5$$

$$x+1=x^2-10x+25$$

$$x^2-11x+24=0$$

$$D=121-96=25$$

$$x_{1,2}=\frac{11\pm 5}{2}$$

$$x_1=3,\quad x_2=8$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=8$$.

г) $$\left(0{,}1^{\sqrt{x+1}}\right)^{\sqrt{x+6}}=\frac{1}{10^6}$$

$$0{,}1^{\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x+6}}=0{,}1^6$$

$$\sqrt{(x+1)(x+6)}=6$$

$$x^2+7x+6=36$$

$$x^2+7x-30=0$$

$$D=49+120=169$$

$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 13}{2}$$

$$x_1=3,\quad x_2=-10$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=3$$.

Ответ

а) $$2; 5$$
б) $$-2; 2$$
в) $$8$$
г) $$3$$