Упр.40.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sqrt{625}\cdot\sqrt{5^{14x-9}}=\sqrt[6]{125\cdot5^{6x-12}}$$;

б) $$\sqrt[3]{0{,}2}\cdot\sqrt{0{,}2^{2x-\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{0{,}04^{-3x+6}}$$.

а) $$\sqrt{625}\cdot \sqrt{5^{14x-9}}=\sqrt[6]{125\cdot 5^{6x-12}}$$

Представим все числа как степени числа $$5$$:

$$\sqrt{5^4}\cdot \sqrt{5^{14x-9}}=\sqrt[6]{5^3\cdot 5^{6x-12}}$$

$$5^2\cdot 5^{\frac{14x-9}{2}}=5^{\frac{3+6x-12}{6}}$$

$$5^{\frac{14x-5}{2}}=5^{\frac{6x-9}{6}}$$

Приравниваем показатели:

$$\frac{14x-5}{2}=\frac{6x-9}{6}$$

$$3(14x-5)=6x-9$$

$$42x-15=6x-9$$

$$36x=6$$

$$x=\frac{1}{6}$$

б) $$\sqrt[3]{0{,}2}\cdot \sqrt{0{,}2^{\,2x-\frac13}}=\sqrt[3]{0{,}04^{-3x+6}}$$

Запишем $$0{,}04$$ как $$0{,}2^2$$:

$$0{,}2^{\frac13}\cdot 0{,}2^{\frac{2x-\frac13}{2}}=\left(0{,}2^2\right)^{\frac{-3x+6}{3}}$$

$$0{,}2^{\frac13+\frac{2x}{2}-\frac{1}{6}}=0{,}2^{-2x+4}$$

$$0{,}2^{x+\frac16}=0{,}2^{-2x+4}$$

Приравниваем показатели:

$$x+\frac16=-2x+4$$

$$3x=4-\frac16=\frac{23}{6}$$

$$x=\frac{23}{18}=1\frac{5}{18}$$

Ответ

а) $$\frac{1}{6}$$; б) $$1\frac{5}{18}$$.