Упр.40.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{3x^2-3}=0{,}81^{-2x}$$;

б) $$\left(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}\right)^{x^2+4}=20{,}25^{x+1}$$.

Подробный ответ

а) Преобразуем основания к одной степени:

$$\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{3x^2-3}=\left(\frac{10}{9}\right)^{\frac{3x^2-3}{2}}, \qquad 0{,}81^{-2x}=\left(\frac{81}{100}\right)^{-2x}=\left(\frac{100}{81}\right)^{2x}=\left(\frac{10}{9}\right)^{4x}.$$

Тогда

$$\frac{3x^2-3}{2}=4x.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$3x^2-8x-3=0.$$

$$D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot(-3)=64+36=100.$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm 10}{6}.$$

$$x_1=3,\qquad x_2=-\frac13.$$

б) Преобразуем основания:

$$\left(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{3}}\right)^{x^2+4}=\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{x^2+4}{4}}, \qquad 20{,}25^{x+1}=\left(\frac{81}{4}\right)^{x+1}=\left(\frac{9}{2}\right)^{2x+2}=\left(\frac{2}{9}\right)^{-2x-2}.$$

Так как $$\frac{2}{3}=\left(\frac{2}{9}\right)^{\frac12},$$ то

$$\left(\frac{2}{9}\right)^{\frac{x^2+4}{4}}=\left(\frac{2}{9}\right)^{-2x-2}.$$

Следовательно,

$$\frac{x^2+4}{4}=-2x-2.$$

Умножим на $$4$$:

$$x^2+4=-8x-8,$$

$$x^2+8x+12=0.$$

$$D=8^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16.$$

$$x_{1,2}=\frac{-8\pm 4}{2}.$$

$$x_1=-2,\qquad x_2=-6.$$