Упр.4.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите все числа t, которым на числовой окружности (см. рис. 2) соответствуют точки, принадлежащие указанной открытой дуге (т. е. дуге без её концов): а) AM; б) СМ; в) МА; г) MC. (М — середина первой четверти.)

Пусть точке $$A$$ соответствует число $$0$$, точке $$B$$ — число $$\frac{\pi}{2},$$ точке $$C$$ — число $$\pi,$$ точке $$D$$ — число $$\frac{3\pi}{2},$$ а точке $$M$$ — число $$\frac{\pi}{4}.$$

а) Дуга $$AM$$

Открытая дуга $$AM$$ соответствует значениям

$$0<t<\frac{\pi}{4}.$$

С учётом периодичности получаем

$$t\in\left(2\pi k;\frac{\pi}{4}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

б) Дуга $$CM$$

Точка $$C$$ соответствует числу $$-\pi$$ (или $$\pi$$), а точка $$M$$ — числу $$\frac{\pi}{4}.$$

Открытая дуга $$CM$$ задаётся неравенством

$$-\pi<t<\frac{\pi}{4}.$$

С учётом периодичности:

$$t\in\left(-\pi+2\pi k;\frac{\pi}{4}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

в) Дуга $$MA$$

Здесь идём от $$M$$ к $$A$$ по меньшей дуге:

$$\frac{\pi}{4}<t<2\pi.$$

Следовательно,

$$t\in\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k;2\pi+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

г) Дуга $$MC$$

Открытая дуга $$MC$$ соответствует значениям

$$\frac{\pi}{4}<t<\pi.$$

С учётом периодичности:

$$t\in\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k;\pi+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ:

1. $$t\in\left(2\pi k;\frac{\pi}{4}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z;$$
2. $$t\in\left(-\pi+2\pi k;\frac{\pi}{4}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z;$$
3. $$t\in\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k;2\pi+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z;$$
4. $$t\in\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k;\pi+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$