Упр.39.48 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$2^x+1\geq\cos x$$; б) $$2^{|x|}+1>2\cos x$$; в) $$\left(\frac{1}{3}\right)^x+1<\sin x$$; г) $$3^{|x|}\leq\cos 2x$$.
Рассмотрим каждое неравенство отдельно.
$$2^x+1\ge \cos x$$
Так как $$2^x>0$$ при любом $$x$$, то
$$2^x+1>1.$$
С другой стороны,
$$-1\le \cos x\le 1.$$
Значит, левая часть всегда не меньше правой, поэтому неравенство верно при всех $$x$$.
Ответ: $$x\in(-\infty;+\infty).$$
$$2^{|x|}+1>2\cos x$$
Так как $$|x|\ge 0$$, то
$$2^{|x|}\ge 2^0=1,$$
следовательно,
$$2^{|x|}+1\ge 2.$$
Кроме того,
$$-1\le \cos x\le 1,$$
значит,
$$-2\le 2\cos x\le 2.$$
Равенство $$2^{|x|}+1=2\cos x$$ возможно только при $$x=0$$, так как тогда обе части равны $$2$$. Но в неравенстве стоит знак $$>$$, поэтому $$x=0$$ не подходит.
Ответ: $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
$$\left(\frac13\right)^x+1<\sin x$$
Так как $$\left(\frac13\right)^x>0$$ при любом $$x$$, то
$$\left(\frac13\right)^x+1>1.$$
Но для синуса всегда
$$-1\le \sin x\le 1.$$
Следовательно, левая часть строго больше $$1$$, а правая не превосходит $$1$$, поэтому неравенство решений не имеет.
Ответ: решений нет.
$$3^{|x|}\le \cos 2x$$
Так как $$|x|\ge 0$$, то
$$3^{|x|}\ge 3^0=1.$$
А для косинуса
$$-1\le \cos 2x\le 1.$$
Чтобы неравенство было верным, нужно, чтобы обе части были равны $$1$$:
$$3^{|x|}=1,\qquad \cos 2x=1.$$
Из $$3^{|x|}=1$$ получаем $$|x|=0$$, то есть $$x=0$$. При этом $$\cos 2\cdot 0=1$$, значит, условие выполняется.
Ответ: $$x=0.$$
