Упр.39.47 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$2^x \geq \frac{2}{x}$$; б) $$\left(\frac{1}{4}\right)^x < -\frac{4}{x}$$; в) $$5^x \leq \frac{5}{x}$$; г) $$\left(\frac{1}{8}\right)^x > -\frac{8}{x}$$.
Рассмотрим каждое неравенство отдельно.
$$2^x \ge \frac{2}{x}$$
При $$x<0$$ неравенство выполняется автоматически, так как $$2^x>0$$, а $$\frac{2}{x}<0$$.
При $$x>0$$ сравним функции $$y=2^x$$ и $$y=\frac{2}{x}$$. Они возрастают и убывают соответственно, а точка пересечения находится из равенства
$$2^x=\frac{2}{x}.$$
Проверим $$x=1$$:
$$2^1=2,\qquad \frac{2}{1}=2.$$
Значит, при $$x\ge 1$$ неравенство верно.
Ответ: $$x\in(-\infty;0)\cup[1;+\infty).$$
$$\left(\frac14\right)^x<-\frac{4}{x}$$
Правая часть положительна только при $$x<0$$, значит рассматриваем лишь этот промежуток.
На $$(-\infty;0)$$ функция $$y=\left(\frac14\right)^x$$ убывает, а функция $$y=-\frac{4}{x}$$ возрастает.
Найдём точку пересечения:
$$\left(\frac14\right)^x=-\frac{4}{x}.$$
Проверим $$x=-1$$:
$$\left(\frac14\right)^{-1}=4,\qquad -\frac{4}{-1}=4.$$
Следовательно, неравенство выполняется при
$$-1<x<0.$$
Ответ: $$x\in(-1;0).$$
$$5^x\le \frac{5}{x}$$
Здесь обязательно $$x>0$$.
На $$(0;+\infty)$$ функция $$y=5^x$$ возрастает, а функция $$y=\frac{5}{x}$$ убывает.
Точка пересечения находится из уравнения
$$5^x=\frac{5}{x}.$$
Проверим $$x=1$$:
$$5^1=5,\qquad \frac{5}{1}=5.$$
Значит, решение:
$$0<x\le 1.$$
Ответ: $$x\in(0;1].$$
$$\left(\frac18\right)^x>-\frac{8}{x}$$
Правая часть положительна при $$x<0$$, поэтому сначала рассмотрим $$x<0$$. На этом промежутке $$y=\left(\frac18\right)^x$$ убывает, а $$y=-\frac{8}{x}$$ возрастает.
Найдём точку пересечения:
$$\left(\frac18\right)^x=-\frac{8}{x}.$$
Проверим $$x=-1$$:
$$\left(\frac18\right)^{-1}=8,\qquad -\frac{8}{-1}=8.$$
Следовательно, при $$x<-1$$ неравенство верно, а при $$-1<x<0$$ — неверно.
При $$x>0$$ правая часть отрицательна, а левая положительна, значит неравенство выполняется автоматически.
Ответ: $$x\in(-\infty;-1)\cup(0;+\infty).$$
