Упр.39.44 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решите уравнение:
- $$2^x-1=\sqrt{x}$$;
- $$\left(\frac{1}{4}\right)^x=\sqrt{x}+1$$;
- $$3^x-1=-\sqrt{x}$$;
- $$\left(\frac{1}{3}\right)^x=\sqrt{x}+1$$.
а) Рассмотрим уравнение $$2^x-1=\sqrt{x}.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Функция $$y=2^x-1$$ возрастает, а функция $$y=\sqrt{x}$$ тоже возрастает. Проверим несколько значений:
$$x=0:\quad 2^0-1=0,\quad \sqrt{0}=0;$$
$$x=1:\quad 2^1-1=1,\quad \sqrt{1}=1.$$
Значит, решения: $$x=0$$ и $$x=1.$$
б) Рассмотрим уравнение $$\left(\frac14\right)^x=\sqrt{x}+1.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Функция $$y=\left(\frac14\right)^x$$ убывает на $$[0;+\infty),$$ а функция $$y=\sqrt{x}+1$$ возрастает на этом промежутке. Проверим значение при $$x=0$$:
$$\left(\frac14\right)^0=1,\qquad \sqrt{0}+1=1.$$
Следовательно, $$x=0$$ — решение.
в) Рассмотрим уравнение $$3^x-1=-\sqrt{x}.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Функция $$y=3^x-1$$ возрастает, а функция $$y=-\sqrt{x}$$ убывает на $$[0;+\infty).$$ Проверим $$x=0$$:
$$3^0-1=0,\qquad -\sqrt{0}=0.$$
Значит, $$x=0$$ — решение.
г) Рассмотрим уравнение $$\left(\frac13\right)^x=\sqrt{x}+1.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Функция $$y=\left(\frac13\right)^x$$ убывает, а функция $$y=\sqrt{x}+1$$ возрастает на $$[0;+\infty).$$ Проверим $$x=0$$:
$$\left(\frac13\right)^0=1,\qquad \sqrt{0}+1=1.$$
Следовательно, $$x=0$$ — решение.
Ответ: а) $$0,\,1$$; б) $$0$$; в) $$0$$; г) $$0$$.
