Упр.39.43 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$x$$ график заданной показательной функции лежит ниже графика заданной линейной функции: а) $$y=2^x$$, $$y=-\frac{3}{2}x-1$$; б) $$y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$$, $$y=-x-2$$; в) $$y=\left(\frac{1}{5}\right)^x$$, $$y=3x+1$$; г) $$y=3^x$$, $$y=-2x+5$$?

Сравним значения функций и найдём, при каких $$x$$ выполняется неравенство «показательная функция ниже линейной», то есть первая функция меньше второй.

1. $$2^x<-\frac{3}{2}x-1$$

   Проверим точку пересечения:

   $$2^{-1}=\frac12,\qquad -\frac{3}{2}\cdot(-1)-1=\frac32-1=\frac12.$$

   При $$x<-1$$ показательная функция меньше линейной, значит

   $$x\in(-\infty;-1).$$

2. $$\left(\frac12\right)^x<-x-2$$

   Рассмотрим несколько значений:

   $$\left(\frac12\right)^{-2}=4,\qquad -(-2)-2=0,$$

   $$\left(\frac12\right)^{-1}=2,\qquad -(-1)-2=-1,$$

   $$\left(\frac12\right)^0=1,\qquad -0-2=-2.$$

   Во всех случаях показательная функция выше линейной, поэтому решений нет:

   $$x\in\varnothing.$$

3. $$\left(\frac15\right)^x<3x+1$$

   Проверим точку пересечения:

   $$\left(\frac15\right)^0=1,\qquad 3\cdot0+1=1.$$

   При $$x>0$$ показательная функция меньше линейной, значит

   $$x\in(0;+\infty).$$

4. $$3^x<-2x+5$$

   Проверим точку пересечения:

   $$3^1=3,\qquad -2\cdot1+5=3.$$

   При $$x<1$$ показательная функция ниже линейной, значит

   $$x\in(-\infty;1).$$

Ответ: а) $$x\in(-\infty;-1)$$; б) $$x\in\varnothing$$; в) $$x\in(0;+\infty)$$; г) $$x\in(-\infty;1)$$.