Упр.39.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$4^x \le 64$$;
   б) $$\left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{1}{8}$$;
   в) $$5^x \ge 25$$;
   г) $$\left(\frac{2}{3}\right)^x < \frac{8}{27}$$.

а) $$4^x \le 64$$

Представим число $$64$$ как степень с основанием $$4$$:

$$64=4^3$$

Тогда

$$4^x \le 4^3$$

Так как $$4>1$$, показательная функция возрастает, значит

$$x \le 3$$

Ответ: $$x \in (-\infty; 3]$$

б) $$\left(\frac12\right)^x > \frac18$$

Представим число $$\frac18$$ как степень с основанием $$\frac12$$:

$$\frac18=\left(\frac12\right)^3$$

Тогда

$$\left(\frac12\right)^x > \left(\frac12\right)^3$$

Так как $$0<\frac12<1$$, показательная функция убывает, значит знак неравенства меняется:

$$x < 3$$

Ответ: $$x \in (-\infty; 3)$$

в) $$5^x \ge 25$$

Представим число $$25$$ как степень с основанием $$5$$:

$$25=5^2$$

Тогда

$$5^x \ge 5^2$$

Так как $$5>1$$, показательная функция возрастает, значит

$$x \ge 2$$

Ответ: $$x \in [2; +\infty)$$

г) $$\left(\frac23\right)^x < \frac{8}{27}$$

Представим число $$\frac{8}{27}$$ как степень с основанием $$\frac23$$:

$$\frac{8}{27}=\left(\frac23\right)^3$$

Тогда

$$\left(\frac23\right)^x < \left(\frac23\right)^3$$

Так как $$0<\frac23<1$$, показательная функция убывает, значит знак неравенства меняется:

$$x > 3$$

Ответ: $$x \in (3; +\infty)$$