Упр.39.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}\left(\frac{1}{4}\right)^x, & x\leq 0,\\ \cos x, & x>0.\end{cases}$$

а) Вычислите $$f(-3)$$; $$f(-2)$$; $$f(-1{,}5)$$; $$f(0)$$; $$f\left(\frac{\pi}{4}\right)$$; $$f\left(\frac{3\pi}{2}\right)$$.

б) Постройте график функции $$y=f(x)$$.

в) Прочитайте график функции.

Для $$x \le 0$$ имеем $$f(x)=\left(\frac14\right)^x,$$ а для $$x>0$$ — $$f(x)=\cos x.$$

а) Вычислим значения функции

$$f(-3)=\left(\frac14\right)^{-3}=4^3=64$$
$$f(-2)=\left(\frac14\right)^{-2}=4^2=16$$
$$f(-1{,}5)=\left(\frac14\right)^{-1{,}5}=4^{1{,}5}=8$$
$$f(0)=\left(\frac14\right)^0=1$$
$$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\frac{3\pi}{2}=0$$

б) Построим график функции

При $$x \le 0$$ строим график показательной функции $$y=\left(\frac14\right)^x$$. Для построения удобно взять точки:

При $$x>0$$ строим график функции $$y=\cos x$$. Для него можно отметить точки:

График всей функции состоит из двух частей: слева от нуля — ветвь показательной функции, справа от нуля — график косинуса. В точке $$x=0$$ они соединяются в точке $$\left(0;1\right).$$

в) Прочитаем график функции

• Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
• Функция ни чётная, ни нечётная.
• На промежутке $$(-\infty;0]$$ функция убывает, а на $$x>0$$ — периодическая.
• Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.
• Наименьшего значения не имеет.
• Множество значений: $$E(f)=[-1;+\infty).$$
• Функция непрерывна на всей области определения.
• Функция дифференцируема при всех $$x\ne 0.$$

Ответ: $$f(-3)=64,\ f(-2)=16,\ f(-1{,}5)=8,\ f(0)=1,\ f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2},\ f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0.$$