Упр.39.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}\left(\frac{1}{2}\right)^x, & x<0,\\ \sqrt{x}+1, & x\geqslant 0.\end{cases}$$
а) Вычислите $$f(-5)$$; $$f(-2{,}5)$$; $$f(0)$$; $$f(4)$$; $$f(1{,}69)$$;
б) Постройте график функции $$y=f(x)$$;
в) Прочитайте график функции.
Функция задана так:
$$f(x)= \begin{cases} \left(\dfrac12\right)^x, & x<0,\\ \sqrt{x}+1, & x\ge 0. \end{cases}$$
Ход решения
а) Вычислим значения функции.
Так как при $$x<0$$ используется формула $$f(x)=\left(\dfrac12\right)^x,$$ а при $$x\ge 0$$ — формула $$f(x)=\sqrt{x}+1,$$ получаем:
$$f(-5)=\left(\dfrac12\right)^{-5}=2^5=32$$
$$f(-2{,}5)=\left(\dfrac12\right)^{-2{,}5}=2^{2{,}5}=2^2\cdot 2^{0{,}5}=4\sqrt{2}$$
$$f(0)=\sqrt{0}+1=1$$
$$f(4)=\sqrt{4}+1=2+1=3$$
$$f(1{,}69)=\sqrt{1{,}69}+1=1{,}3+1=2{,}3$$
б) Построим график функции.
График состоит из двух частей:
- при $$x<0$$ — график показательной функции $$y=\left(\dfrac12\right)^x;$$
- при $$x\ge 0$$ — график функции $$y=\sqrt{x}+1.$$
Для построения можно отметить несколько точек:
для $$y=\left(\dfrac12\right)^x$$: $$(-3;8),\;(-2;4),\;(0;1);$$
для $$y=\sqrt{x}+1$$: $$(0;1),\;(4;3),\;(9;4).$$
Соединяем точки плавными кривыми: слева убывающая экспонента, справа возрастающая ветвь корневой функции, начинающаяся в точке $$(0;1).$$
в) Прочитаем график функции.
- Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
- Функция ни чётная, ни нечётная.
- На луче $$(-\infty;0]$$ функция убывает, на луче $$[0;+\infty)$$ возрастает.
- Наименьшее значение: $$y_{\min}=1.$$
- Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.
- Функция непрерывна на всей области определения.
- Множество значений: $$E(f)=[1;+\infty).$$
Ответ
а) $$f(-5)=32,\quad f(-2{,}5)=4\sqrt2,\quad f(0)=1,\quad f(4)=3,\quad f(1{,}69)=2{,}3.$$
б) График состоит из ветви $$y=\left(\dfrac12\right)^x$$ при $$x<0$$ и ветви $$y=\sqrt{x}+1$$ при $$x\ge 0.$$
в) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\quad E(f)=[1;+\infty),$$ функция ни чётная, ни нечётная, убывает при $$x<0$$ и возрастает при $$x\ge 0.$$
