Упр.39.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}4^x, & \text{если } x<1,\\-x^2+1, & \text{если } x\geq 1.\end{cases}$$
а) Вычислите $$f(-3)$$; $$f(-2{,}5)$$; $$f(0)$$; $$f(1)$$; $$f(2)$$;
б) постройте график функции $$y=f(x)$$;
в) прочитайте график функции.
а) Найдём значения функции по заданной формуле:
$$f(x)= \begin{cases} 4^x, & x<1,\\ -x^2+1, & x\ge 1. \end{cases}$$
$$f(-3)=4^{-3}=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64}$$
$$f(-2{,}5)=4^{-2{,}5}=\frac{1}{4^{2{,}5}}=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$$
$$f(0)=4^0=1$$
$$f(1)=-1^2+1=0$$
$$f(2)=-2^2+1=-4+1=-3$$
Ход решения
б) Построим график функции.
При $$x<1$$ имеем график показательной функции $$y=4^x$$. Для построения удобно отметить точки:
| $$x$$ | $$0$$ | $$1$$ |
|---|---|---|
| $$y$$ | $$1$$ | $$4$$ |
Точка $$\left(1;4\right)$$ не входит в график этой части функции, поэтому в ней ставим пустую точку.
При $$x\ge 1$$ имеем параболу $$y=-x^2+1$$. Для построения отметим точки:
| $$x$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ |
|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$0$$ | $$-3$$ | $$-8$$ |
Точка $$\left(1;0\right)$$ входит в график, поэтому она закрашена. График функции состоит из двух частей: экспоненты при $$x<1$$ и ветви параболы при $$x\ge 1$$.
Ответ
$$f(-3)=\frac{1}{64},\quad f(-2{,}5)=\frac{1}{32},\quad f(0)=1,\quad f(1)=0,\quad f(2)=-3.$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$. Функция ни чётная, ни нечётная. Возрастает на $$(-\infty;1)$$ и убывает на $$[1;+\infty)$$. Наибольшее значение равно $$4$$, наименьшего значения нет. Множество значений: $$E(f)=(-\infty;4)$$.
